Distribución de servidor de aplicaciones en un M/M/c de cola, con un modelo inusual despacho de la disciplina

Question

Estoy estudiando un M/M/c de cola, con un modelo inusual (?) envío de la disciplina:

1. Los servidores están numerados de 1...c
2. Los servidores tienen idéntico al de la media de tiempo de servicio, exponencialmente distribuida (como de costumbre), que no varía con el tiempo o de la carga
3. Si todos los servidores están ocupados, la transacción se asigna al primer servidor que queda libre
4. Si los servidores son gratuitos, la transacción se asigna el servidor gratuito con el número más bajo.

Estoy especialmente interesado en la media server utilización ($\rho_i$) para cada servidor (que se podrían derivar de la proporción $p_i$ de los puestos servidos por el servidor $i$), y también de su distribución (aunque supongo que es más difícil).

¿Qué resultados están disponibles que dan a la distribución del tráfico que va a cada servidor?

Answer 1

Este es un intento de a) una respuesta parcial.

Yo creo que usted debería ser capaz de disociar la selección de servidor aspecto de los compuestos de carga aspecto, ya que los servidores son idénticos con exponencialmente distribuidos de tiempo de servicio $\mu$. Es decir, uno puede analizar el número en el sistema (independientemente de la distribución a través de los servidores) como un simple caso M/M/$c$ sistema, con el sistema habitual de distribución:

$$ p_k = \begin{cases} \hfill p_0 \frac{\sigma^k}{k!} \hfill & k \leq c \\ \hfill p_0 \frac{\sigma^k}{c!c^{k-c}} \hfill & k \geq c \end{casos} $$

donde $\sigma = \lambda/\mu$ y

$$ p_0 = \left(\sum_{k=0}^{c-1} \frac{\sigma^k}{k!} + \sum_{k=c}^\infty \frac{\sigma^k}{c!c^{k-c}}\right)^{-1} = \left(\frac{c\sigma^c}{c!(c-\sigma)} + \sum_{k=0}^{c-1} \frac{\sigma^k}{k!}\right)^{-1} $$

Para el caso más simple $c=2$, entonces podemos desentrañar los estados individuales $(1, 0)$ ($1$ocupado, el servidor $2$ inactivo) y $(0, 1)$ ($1$ inactivo, el servidor $2$ ocupado) por escrito

$$ \lambda p_0 = \mu p_{1, 0} + \mu p_{0, 1} = \mu p_1 $$ $$ (\lambda+\mu) p_{1, 0} = \lambda p_0 + \mu p_2 $$ $$ (\lambda+\mu) p_{0, 1} = \mu p_2 $$ $$ 2\mu p_2 = \lambda p_{1, 0} + \lambda p_{0, 1} = \lambda p_1 $$

En conjunto, estas ecuaciones rendimiento

$$ p_{1, 0} = \frac{2+\sigma}{2+2\sigma} \, p_1 $$ $$ p_{0, 1} = \frac{\sigma}{2+2\sigma} \, p_1 $$

Aún estoy pensando (a) si todo esto es correcto para $c = 2$, y (b) si es así, cómo se puede generalizar para todos los $c$.