Si $a,b$ son números racionales positivos y $\sqrt a+\sqrt b$ es racional, tanto de $\sqrt a,\sqrt b$ son números racionales

Question

Estoy tratando de mostrar

Si $a,b$ son números racionales positivos y $\sqrt a+\sqrt b$ es racional, tanto de $\sqrt a,\sqrt b$ son números racionales.

Cuadrado el número $\sqrt a+\sqrt b$ y me encontré que $\sqrt {ab}$ es racional...

Answer 1

Tenemos $(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b$, por lo tanto es racional, el $\sqrt a-\sqrt b$ $2\sqrt a=(\sqrt a+\sqrt b)+(\sqrt a-\sqrt b)$ es racional.
Por el mismo método podemos deducir que $\sqrt b$ es racional.

Answer 2

Supongamos que ambos $\sqrt a$ y $\sqrt b$ son irracionales.

Puesto que usted tiene $\sqrt a + \sqrt b$ racional, $\sqrt a - \sqrt b$ es irracional.

$(\sqrt a + \sqrt b)(\sqrt a - \sqrt b)=a-b$

LHS es irracional, el lado derecho es racional. ¡Contradicción!

No se puede tener uno racional y otro irracional, por lo tanto son racionales.

Answer 3

Otro enfoque posible es el siguiente. $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ Es racional, $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$ es racional, por lo tanto, es racional, el $\sqrt{ab}$ $ab$ es el cuadrado de un número racional y $\sqrt{b}$ es un número racional veces $\sqrt{a}$, decir $q\sqrt{a}$. Da $\sqrt{a}+\sqrt{b}=(1+q)\sqrt{a}$, por lo tanto es racional $\sqrt{a}$ y $a$ es el cuadrado de un número racional, por lo que el mismo es $b$.

Answer 4

Ahora todo lo que tienes que hacer es multiplicar $\sqrt{ab}$ $\sqrt a +\sqrt b$. Entonces obtenemos $b\sqrt a+a\sqrt b$ es racional. Si $a = b$ allí no es nada para probar. Si $a \neq b$ entonces le podemos restar el $b\sqrt a+b\sqrt b$ para obtener el resultado.