Sé que para algunos grupos pequeños, uno podría fuerza simplemente bruta todas las combinaciones de elementos para buscar sus subgrupos, pero ¿existe algún tipo de algoritmo, por lo menos para grupos finitos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Existe un método llamado la cíclico método de extensión, el cual puede encontrar los subgrupos de un finito soluble en grupo. (Es posible mejorar este algoritmo con el conocimiento perfecto de los grupos para tratar con grupos que son insolubles.) La idea básica es construir los subgrupos en capas, comenzando con los subgrupos de primer orden. Para hacer las cosas a la rodadura, inicie con los subgrupos $\langle g\rangle$ de primer orden. Ahora tienes la capa de $1$, y se puede proceder inductivamente. Una vez que usted tiene un subgrupo $H$ en, digamos, la $i$th capa, un subgrupo de la $(i+1)$st capa puede ser construido como $\langle H, u\rangle$ donde $u$ es un elemento de la normalización de $H$ tal que $u^p$ pertenece a $H$, para algunos el primer $p$. Poniendo todo junto y lo que es eficaz es bastante complicado, pero hay una descripción de ella en el Capítulo 6 del libro "Algoritmos Fundamentales para la Permutación de Grupos", por Gregorio Butler (LNCS #559). Otro, más sofisticado método se describe en la Sección 10.4 de "Manual de cálculo de Teoría de grupos", por Holt, Eick y O'Brien (Chapman & Hall/CRC, 2005).
Onorio Catenacci
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Esto es sólo para añadir un par de comentarios a la respuesta de Santiago, tal como se aplica a grupos finitos. Como se mencionó, para extender el ciclo método de extensión para no solucionable grupos, se necesita un conocimiento de lo finito perfecto grupos, y estos sólo son clasificadas hasta algún orden específico.
De hecho, todos los métodos prácticos de uso por parte de Álgebra computacional Sistemas se basan en algún tipo de búsqueda de base de datos, por lo que no están completas algoritmos. Existen métodos eficaces (basado en los resultados demostró en la década de 1980 por Aschbacher, Scott, Kovacs y probablemente otros) para reducir el problema a los subgrupos de casi simple de los grupos (que son grupos de $G$ $S \le G \le {\rm Aut}(S)$ $S$ nonabelian simple).
Para los más pequeños de casi simple grupos, es útil simplemente para almacenar (conjugacy representantes de la clase) de sus subgrupos. Esto se vuelve impráctico para grupos más grandes, pero de forma recursiva, es suficiente para almacenar su máxima subgrupos, y hay una gran cantidad de literatura acerca de la máxima subgrupos de casi simple grupos, muchos de los cuales pueden ser utilizados de forma algorítmica. Por ejemplo, el geométrica máxima subgrupos de los clásicos de los grupos (es decir, cosas como estabilizadores de subespacios, los sistemas de imprimitivity) puede ser construido de manera genérica. Por desgracia, hay otros tipos de máxima subgrupos que tienen que ser clasificadas dimensión por dimensión, pero ahora tenemos una casi completa descripción de la máxima subgrupos de los clásicos grupos de dimensión 12.
La situación por la alternancia de los grupos es similar. Creo que su máxima subgrupos son conocidos y mencionados hasta grado sobre 4095. Aparte de un pequeño número de incertidumbres que se mantienen sobre el Monstruo, la máxima subgrupos de la esporádicos grupos son completamente conocidos y, salvo para los muy grandes instancias, efectivamente edificable. Hay mucho menos conocido, en general, sobre el más excepcional de los grupos de Lie tipo.
