¿Por qué la gente piensa que abelian variedades son las más difíciles caso de la conjetura de Hodge?

Question

Hoy, me enteré de que la gente piensa que si se puede demostrar la conjetura de Hodge para abelian variedades, entonces debe ser cierto en general. Al parecer, este caso es bastante importante (y lo suficientemente duro) que Weil escribió algunas familias de abelian de 4 pliegues que eran posibles contraejemplos a la conjetura de Hodge, pero nunca he oído hablar de otra de las potencialidades de contraejemplo.

De todos modos, en breve:

1) ¿la Conjetura de Hodge para abelian variedades implica el pleno de la conjetura de Hodge?

2) Si no, hay una razón intuitiva por qué abelian variedades deben ser los más caso?

Answer 1

Yo diría que la respuesta a ambas preguntas es no. De hecho, abelian variedades debe ser un "fácil". Por ejemplo, se sabe que para abelian variedades (pero no otras variedades), el variacional conjetura de Hodge implica la conjetura de Hodge. Es desconcertante que no podemos probar la conjetura de Hodge incluso para abelian variedades, incluso para abelian variedades de CM-tipo, y que ni siquiera se puede demostrar que la Hodge clases de Weil describe son algebraicas. Así que si la conjetura de Hodge fue demostrado en un caso interesante, por ejemplo, abelian variedades, que sería un gran impulso.

Agregado: Como seguimiento a Matt Emerton la respuesta, una prueba de que la conjetura de Hodge para abelian variedades implica la conjetura de Hodge para todas las variedades (seguramente) también muestran que Deligne del teorema (que Hodge clases en abelian variedades son absolutamente Hodge) implica la misma instrucción para todas las variedades. Pero no hay tal resultado es conocido (y sería muy interesante).

Answer 2

La clase de Abelian variedades es el más simple de la clase de variedades donde la conjetura de Hodge es que no se conoce para ser verdad. Así que, naturalmente una cierta cantidad de esfuerzo se dirige hacia ellos. Sin embargo, no está claro a mí que uno puede hacer una reducción evidente de la más general suave de variedades proyectivas para Abelian variedades. La razón por la que yo soy escéptico es debido a que las estructuras de Hodge para dichas variedades no necesitan mentir en el tensor de la categoría generados por Hodge estructuras de Abelian variedades.

Una última cosa. La conjetura de Hodge es falsa para el compacto de Kaehler colectores, y de hecho para el complejo tori! Cf. Voisin, IMRN vol 20 (2002). También hay un viejo ejemplo, debido a la Zucker.

Answer 3

Mi vecino de al lado (en el departamento de matemáticas) es un Hodge teórico, y nunca he oído hablar de ella decir que abelian variedades son las más difíciles caso de la conjetura de Hodge.

Sin embargo, son sin duda una demostrable "rico" en el caso de la conjetura de Hodge. Mi vecino me dijo una vez que la conjetura de Hodge es de suponer que la verdadera "la mayoría del tiempo", incluso para las compactas Kahler colectores, debido a que un genérico de Kahler colector no tiene suficiente trivial cohomology grupos para hacer la conjetura de Hodge una declaración interesante. Por otro lado, un abelian variedad de grandes dimensiones tiene un montón de grandes dimensiones cohomology grupos, y son muchas las familias conocidas de abelian variedades suficientemente pequeño Mumford-Tate grupo para que la conjetura de Hodge no puede ser verificada sólo por la intersección de divisores juntos.

Para una breve exposición en torno a la conjetura de Hodge y abelian variedades, usted puede consultar

http://math.uga.edu/~pete/mtnotes.pdf

Caveat lector: yo no soy un experto en este tema.

Answer 4

Relacionadas con Jim Milne respuesta, se puede mencionar que Deligne demostrado que para abelian variedades, todas Hodge ciclos son "absolutamente Hodge" (es decir, cuando usted piensa de ellos incrustados en diagonal en el interior del producto de la algebraicas de Rham cohomology y $\ell$-ádico cohomology (para cada $\ell$) y aplicar una automorphism de $\mathbb C$, el resultado de los ciclos de nuevo en diagonal incrustado racional de los ciclos, y de hecho son de nuevo Hodge). Tenga en cuenta que si la conjetura de Hodge se mantiene, entonces esto es cierto (ya que el conjugado bajo cualquier automorphism de $\mathbb C$ de una expresión algebraica ciclo es de nuevo una expresión algebraica ciclo).

Por un lado, esto es mucho más de lo que se sabe acerca de la conjetura de Hodge para obtener más general de las clases de variedades.

Por otro lado, uno no puede inmediatamente a extender a otras clases de variedades debido a que los motivos de abelian variedades no generan todos los motivos sobre un campo de tipo char. 0 (de hecho, lejos de eso, hasta donde yo sé), un hecho que ya traía en Don Arapura la respuesta.