Definitivamente, usted puede acercarse a esta desde la perspectiva de exteriores de álgebra. De hecho, la parte de la pregunta relativa a su identidad de la primera se ha preguntado antes, así que para la coordenada libre, exterior álgebra prueba de que, por favor, eche un vistazo a mi respuesta a la pregunta anterior. Así, que me haga saber a su vez a su segunda identidad. Antes de continuar, permítanme reciclar algunos antecedentes y la notación de mi anterior respuesta.
Recordar que si $V$ $n$- dimensiones interiores espacio del producto, entonces el
Hodge estrellas es un isomorfismo lineal $\ast : \bigwedge^k V \to \bigwedge^{n-k} V$ por cada $0 \leq k \leq n$, la satisfacción de los
siguiente:
para $v$, $w \in V$, $\langle v,w\rangle \omega = v \wedge \ast w$ para $\omega = \ast 1$ el generador de $\bigwedge^n V$ satisfactorio
$\omega = e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ para cualquier base ortonormales
$\{e_k\}$ $V$ con la orientación adecuada (por ejemplo, el volumen
la forma en $\bigwedge^n (\mathbb{R}^n)^\ast$);
en particular, $\ast \ast = \operatorname{Id}$ al $n$ es impar.
También, recordemos que el producto interior en $\bigwedge^k V$ está dado por $$\langle v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, w_1 \wedge \cdots \wedge w_k \rangle = \det(\langle v_i,w_j \rangle). $$
Así, supongamos que el $V$ $3$- dimensional, en cuyo caso podemos definir
el producto cruzado de $a$, $b \in V$ por $$a \times b := \ast (a\wedge b).$$
Ahora, vamos a $a$, $b$, $c$, $d \in \mathbb{R}^3$. Entonces
$$
\langle \times b, c \veces d \rangle \omega = \langle \ast (a \wedge b), \ast (c \wedge d) \rangle \omega \\
= \ast (a \wedge b) \wedge \ast \ast (c \wedge d) \\
= \ast (a \wedge b) \wedge (c \wedge d)\\
= (-1)^{1 \cdot 2} (c \wedge d) \wedge \ast (a \wedge b)\\
= \langle c \wedge d, \wedge b \rangle\omega \\
= \langle \wedge b, c \wedge d \rangle\omega\\
= \begin{vmatrix} \langle a,c \rangle & \langle a,d \rangle \\ \langle b,c \rangle & \langle b,d \rangle \end{vmatrix}\omega\\
= (\langle a,c \rangle \langle b,d \rangle - \langle a,d \rangle \langle b,c \rangle)\omega,
$$
como era necesario. Observa, en particular, que el lado derecho de su segunda identidad se ve como un $2 \times 2$ determinante porque una vez que has descomprimido todas las definiciones, lo que realmente es una $2 \times 2$ determinante, a saber, el producto interior
$$
\langle \wedge b, c \wedge d \rangle := \begin{vmatrix} \langle a,c \rangle & \langle a,d \rangle \\ \langle b,c \rangle & \langle b,d \rangle \end{vmatrix}
$$
de la bivectors $a \wedge b$, $c \wedge d \in \bigwedge^2 \mathbb{R}^3$.
