Los números primos se extienden hasta el infinito, pero ¿qué pasa con la distancia entre ellos?

Question

Es decir, que $p_n$ sea el enésimo número primo positivo. ¿Se puede encontrar en $$L = \lim\limits_{n \to \infty} \left( p_{n+1} - p_n \right)$$ ¿Igual al infinito?

Answer 1

No, el límite (probablemente) no existe.

La secuencia $p_{n+1} - p_n$ tiene un nombre: se llama la secuencia de principales lagunas . Definir $g_n = p_{n+1} - p_n$ , entonces te interesa la secuencia $g_1, g_2, \dots$ . Se conocen los siguientes hechos:

• Para cualquier $k$ es fácil ver que el $(k-1)$ números $k!+2, k!+3, \dots, k!+k$ son todos no primos. Por lo tanto, existen secuencias arbitrariamente largas de números compuestos; en otras palabras, $g_n$ puede ser arbitrariamente grande: para cualquier $k$ existe $n$ tal que $g_n \ge k$ . Equivalentemente, $$ \limsup_{n \to \infty} (p_{n+1} - p_n) = \infty.$$

• Existe la (creencia) conjetura de la prima gemela que afirma que existen infinitos primos que difieren en 2; esto significa que $g_n$ toma el valor $2$ para un número infinito de $n$ o $$\liminf_{n \to \infty} (p_{n+1} - p_n) = 2.$$ Incluso si resulta ser falso para 2, hay La conjetura de Polignac que para cualquier número entero par $k$ existen infinitos primos que difieren en $k$ Esto no ha sido probado ni refutado por ningún $k$ . Aún mejor, se ha demostrado en 2005, asumiendo cierta conjetura (que creo que es más débil que la hipótesis de Riemann) que hay infinitas $n$ para lo cual $g_n$ es como máximo $16$ Por lo tanto $$\liminf_{n \to \infty} (p_{n+1} - p_n) \le 16.$$

• La diferencia "media" entre el $n$ primo y el siguiente aumenta logarítmicamente: $g_n \approx \ln p_n$ . Así que se puede decir que la distancia entre los primos hace llegar a ser infinito "en promedio"; aunque infinitamente a menudo toca números muy pequeños.

Answer 2

Asumiendo algunas conjeturas bastante razonables, entonces $(p_{n+1}-p_n)$ es una secuencia divergente (es decir, no existe un límite). Por ejemplo:

Conjetura : Existe un número infinito de primos gemelos. (donde $p_{n+1}-p_n=2$ un número infinito de veces)

Conjetura : Existe un número infinito de pares primos que difieren en 4. (donde $p_{n+1}-p_n=4$ un número infinito de veces)

Sin embargo, podemos observar que $\lim\sup (p_{n+1}-p_n)=\infty$ ya que $n!+k$ es compuesto (adecuadamente divisible por k) para todo $n \geq 2$ y $2 \leq k \leq n$ . Por lo tanto, hay huecos primos arbitrariamente grandes.

Answer 3

Si el límite no es infinito, entonces se pueden encontrar infinitos primos que difieran en menos de algún límite M. Responder a si ese es el caso parece ser un problema abierto todavía.

La respuesta más cercana (contingente) después de una rápida búsqueda parece ser la que se señala al final de esta página sobre la conjetura Elliott-Halberstam afirmando que hay infinitos pares de primos que difieren como máximo en 16 (utilizaron la conjetura vinculada en su demostración).

Si eso fuera cierto, la respuesta a su pregunta sería no.

Aunque tal vez le interese que haya espacios arbitrariamente grandes entre los primos, que es una cuestión relacionada. La prueba es bastante sencilla: considere los números siguientes $n!$ ...

Answer 4

Ahora no se sabe si el límite existe, pero la distancia entre dos números primos consecutivos puede ser arbitrariamente grande.