No hay bien conocida-la orden para los reales. ¿Hay un orden bien conocida para cualquier conjunto de incontable?
¿Si no se sabe si es o no un axioma indicando que sistemas contables sólo pueden ser bien ordenados coherente con ZF?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La columna vertebral del universo de la teoría de conjuntos es la ordinales. Nos gusta olvidar, porque rara vez se ven en el análisis o lo que sea, y aun así, con el fin de hacer ciertas afirmaciones de que el uso de estos ordinales que a menudo hacen algún uso del axioma de elección.
Pero los ordinales existen, y casi todo lo que usted sabe acerca de ellos en $\sf ZFC$ también es cierto en $\sf ZF$. En particular, la existencia de innumerables ordinales, que son conjuntos que son transitivos, y $\in$ bien las órdenes de ellos. Y en el lenguaje de la teoría de conjuntos, esto es tan explícito como usted puede conseguir.
Si, sin embargo, quitar el axioma de juego de poder, entonces es lógico que cada conjunto es contable, en cuyo caso sólo contable de conjuntos puede ser bien ordenado. Pero una vez que usted tiene el poder de establecer axioma, usted puede probar la existencia de innumerables bien de conjuntos ordenados, y si usted también tiene el reemplazo axioma esquema, se pueden encontrar innumerables [von Neumann] ordinales.
