Interpretación geométrica: Paralelo formas armónicas son

Question

Deje $(M,g)$ ser un colector de Riemann.

La canónica forma de volumen $\mu=\sqrt{\det g_{ij}}\mathrm{d}x^1\wedge\dots\wedge\mathrm{d}x^m$ es paralelo w.r.t. la inducida por Levi-Civita conection $\nabla$ $\Omega^m(M)$ por lo tanto $\mu$ también es armónico.

En el local de la normal de coordenadas soy capaz de ver que $\nabla\mu=0$ y también, desde la $\delta\mu=(-1)^{m(m+1)+1}\star\mathrm{d}\star\mu=(-1)^{m(m+1)+1}\star\mathrm{d}(1)=0$$\mathrm{d}\mu=0$,$\Delta_{\operatorname{Hod}}\mu=0$, es decir, que $\mu$ es armónico.

Sin embargo, ¿por qué no $\nabla\omega=0$ implican $\Delta_{\operatorname{Hod}}\omega=0$$\omega\in\Omega^p(M)$? (E. g. declarado por la Enciclopedia de las Matemáticas.)

Edit: hay alguna interpretación geométrica de esta declaración?

Answer 1

Si $\nabla\omega=0$ entonces también $d\omega=0$, $d\omega$ es el sesgo-simetrización de $\nabla\omega$ (esto es cierto para cualquier conexión libre de torsión, si se trata de Levi-Civita o no). Por otro lado (sólo para Levi-Civita) si $\omega$ es paralela entonces también $*\omega$ es paralelo (desde $*$ se define en términos de la métrica). Así también $d*\omega=0$, tan también $\delta\omega=0$ y $\Delta\omega=(d\delta+\delta d)\omega=0$.