¿Cómo resolver la ecuación diferencial?

Question

¿Cómo se puede resolver la siguiente ecuación diferencial? $$ \frac{dy}{dt}=3+e^{-t} -\frac{1}{2}y $$ He procedido reordenando la ecuación de la siguiente manera $$ \frac{dy}{dt}+\frac{1}{2}y=3+e^{-t} $$ Mi idea era hacer del LHS una derivada de dos variables para poder integrarla. Pero aparentemente no pude hacerlo. ¿Cómo debo proceder ahora?
Su ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Tienes que usar lo que se llama un factor integrador. Dado que el coeficiente de $y$ es simplemente la constante $1/2$ el factor es simple: $\mu = e^{\int 1/2 dt} = e^{t/2}$ . Si se multiplican ambos lados de la ecuación diferencial por $\mu$ se puede "factorizar" el lado izquierdo como una diferenciación implícita de la siguiente manera:

$$ \mu y' + 1/2\cdot\mu y = \mu\cdot(3+e^{-t}); $$ $$(\mu y)' = \mu\cdot(3+e^{-t});$$ $$ (e^{t/2} u)' = 3e^{t/2}+e^{-t/2}. $$

Esto se puede ver con la regla del producto y por el hecho de que elegimos $\mu$ para que $\mu' = 1/2 \cdot\mu$ .

A partir de aquí puedes integrar ambos lados y luego aislar la función $y$ ,

$$ e^{t/2} y = 6e^{t/2} -2e^{-t/2}+C;$$ $$ y = 6-2e^{-t}+Ce^{-t/2}. $$