Problema en teoría de conjuntos de comprensión

Question

Estoy atascado con una pequeña pregunta. Está por debajo,

Deje $A$ ser un conjunto y deje $B = \{A,\{A\}\}$. Entonces, desde el $A$ $\{A\}$ son elementos de $B$,$A \in B$$\{A\} \in B$. De ello se desprende que $\{A\}\subseteq B$$\{\{A\}\} \subseteq B$. Sin embargo, no es cierto que $A\subseteq B$.$\hspace{302pt}\blacksquare$

Tengo que hacer dos preguntas a partir de este texto,

1. ¿Cuál es la diferencia entre el$A$$\{A\}$?
2. Como $A$ es contenido por $B$ $A$ pertenece a $B$ debe ser verdad pero no lo es. ¿Por qué es eso?

Gracias.

Answer 1

(1) a es un conjunto con ciertos elementos, y {Un} es un conjunto con sólo un elemento en específico, y ese elemento es en sí mismo un conjunto: el conjunto A. En la teoría de conjuntos no sólo respecto de los elementos de un conjunto, como objetos matemáticos, pero los conjuntos a sí mismos como objetos matemáticos, y podemos distinguir entre los dos. Por ejemplo, los números 1, 2, y 3 son todos los números, mientras que el conjunto {1,2,3} no es un número sino un conjunto de números. Además, el conjunto {{1,2,3}} no es un conjunto de números (como {1,2,3} no es un número), sino un conjunto que contiene un conjunto de números.

(2) a es Un elemento de B, que es $ A \in B $. Sin embargo, eso no significa que alguno de los elementos de $ A $ son en realidad recta hasta los elementos de $ B $. Por ejemplo, supongamos que a es el conjunto {1,2,3}. Entonces B = {{1,2,3},{{1,2,3}}}. Ni {1,2,3} ni {{1,2,3}} son los números 1, 2, o 3, ni son los números (que son conjuntos), así que no podemos decir de cualquiera de 1, 2, o 3 en el conjunto B.

Answer 2

1. $A$ es un conjunto dado, y $\{A\}$ es el conjunto que tiene un solo elemento, a saber,$A$.

2. Cuidado, es cierto que $A\in B$. Es decir, el conjunto $A$ es un elemento del conjunto a $B$. Es que no es verdad, aunque, eso $A\subseteq B$. Por qué? Bueno, por definición: $$A\subseteq B \iff (x\in A \Rightarrow x\in B)$$ Esto no es cierto, porque hay un elemento de $A$ que no es un elemento de $B$. De hecho, ninguno de los elementos de $A$ pueden ser elementos de $B$, para los elementos de $B$ sólo $A$$\{A\}$, pero $A\notin A$$\{A\}\notin A$. Véase Axioma de regularidad

De hecho, no es cierto que $A\in A$ porque "no es un elemento de sí", como se explica en el enlace de Wikipedia (en Zermelo-Fraenkel la teoría de que es un bien fundado de la teoría), y no es cierto que $\{A\}\in A$, para esto implicaría que $A\in \{A\}\in A \in \{A\}$... formando un infinito descendente de la secuencia de conjuntos, que es también imposible por la regularidad.

Answer 3

$A$ es el conjunto de $A$ sí mismo, pero $\{A\}$ es un singleton con un elemento, es decir, $A$. Sí, sistemas ellos mismos pueden ser elementos de otros conjuntos.

No sabes que $A$ $B$ figura, sólo sabes que $\{A\}$ se encuentra en $B$, $\{A\}\subseteq B$. Esto es porque el único elemento $A$ $\{A\}$ es también un elemento de $B$. Esta es la definición de lo que significa ser un subconjunto.

Answer 4

1. $A$ es un conjunto que contiene los elementos (que no explicitado aquí, por cierto) y $\{ A \}$ es un conjunto que contiene un elemento, y este elemento es el conjunto $A$. Los elementos de $A$ no son elementos de $\{ A \}$.

La relación $A \in B$ significa que $A$ es un elemento de $B$. La relación $A \subseteq B$ significa que cada elemento de a $A$ es un elemento de $B$. Ya que los únicos elementos de $B$$A$$\{ A \}$, a menos que $A$ tiene sólo Una o $\{ A \}$ como un elemento (lo que haría una definición recursiva que es un poco raro... no sé si esto es de alguna manera posible, pero creo que no está permitido en algunos axiomas, para ver lo extraño que podría ser, tendría $A = \{ A, \{A\} \}$, $A = \{A \}$ o $A = \{ \{ A \} \}$, y para ser honesto, generalmente no se tienen en cuenta los casos), no se puede decir que $A \subseteq B$.

Espero que ayude,