Mostrar $p$prime s.t. $p \not\equiv 1 \mod 3$ está representada por la ecuación cuadrática binaria.

Question

Estoy trabajando en la siguiente pregunta:

Que $p>3$ ser un primo tal que $p \not\equiv 1 \mod 3$. Mostrar que $p$ no está representado por la ecuación cuadrática binaria $f(x, y) = x^2 + xy + y^2$.

Agradeceria cualquier ayuda.

Answer 1

Si $p > 3$ es el primer y no $1 \bmod 3$, debe ser $2 \bmod 3$.

Por otro lado, $f(x, y) = (x - y)^2 + 3xy \equiv 0, 1 \pmod 3$ desde una plaza debe ser $0$ o $1 \bmod 3$.

Answer 2

Recuerde que sólo puede sumar mods.

Si $x \equiv 1 \bmod 3$ y $y \equiv 1 \bmod 3$ y $x^2 + xy + y^2 \equiv 0 \bmod 3$.

Si $x \equiv 1 \bmod 3$ y $y \equiv 2 \bmod 3$ y $x^2 + xy + y^2 \equiv 1 \bmod 3$.

Si $x \equiv 1 \bmod 3$ y $y \equiv 0 \bmod 3$ y $x^2 + xy + y^2 \equiv 1 \bmod 3$.

Si $x \equiv 2 \bmod 3$ y $y \equiv 2 \bmod 3$ y $x^2 + xy + y^2 \equiv 0 \bmod 3$.

Obviamente nosotros no preocuparse $x$ y $y$ satisfacción $0 \mod 3$ y en cuanto a las otras posibilidades con $x$ y $y$ cambiado, podemos ignorarlas "sin pérdida de generalidad."

Ya $x^2 + xy + y^2 \equiv 2 \bmod 3$ es imposible, no $p \equiv 2 \bmod 3$ puede ser representado por él.