Demostrar

Question

En el libro de Rudin, "Principios de análisis matemático", teorema 5.3 dice:

Si $f$ $g$ se define en $[a, b]$ y son diferenciables en un $x \in [a,b]$, entonces $$(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$ $

Rudin dijo que esta declaración es claro por el teorema 4.4, pero he intentado probar por mí mismo. ¿Podría decirme si mi camino es correcto?

Mi prueba:

\begin{align} (f+g)'(x) &= \lim_{t\to x} \frac{(f+g)(t) - (f+g)(x)}{(t-x)}\\ &= \lim _{t\to x} \frac{f(t) + g(t) - f(x) - g(x)}{(t-x)}\\ &= \lim _{t\to x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x} + \lim _{t\to x} \frac{g(t)- g(x)}{t-x}\\ &= f'(x) + g'(x) \end {Alinee el}

Answer 1

Es correcto.

Creo que me gustaría añadir un paso que dice esto:

$$ \lim_{t\to x}\left( \frac{f(t)-t(x)}{t-x} + \frac{g(t)-g(x)}{t-x} \right) = \lim_{t\to x} \frac{f(t)-t(x)}{t-x} + \lim_{t\to x}\frac{g(t)-g(x)}{t-x}. $$

La razón por la que me gustaría este es:

• para ser explícitos sobre el hecho de que es donde yo se basó en la igualdad entre el límite de la suma y la suma de los límites, siempre que los dos últimos, existen límites;
• dos de dejar claro en qué momento la prueba se basa en la hipótesis de que la $f$ $g$ son diferenciables en a $x$.

Usted puede simplemente reemplazar su segunda línea en su pregunta con el lado izquierdo de lo que escribí anteriormente.