$\lfloor n/2 \rfloor + 1$ no es suficiente. Como @bof declaró, usted puede tener $2n/3 \times 2n/3$ subboard sin ningún torres: tome este vacío subboard en la esquina inferior izquierda. Para el $n/3$ filas encima de la subboard, a partir de la esquina superior izquierda, coloque $2$ torres en cada fila en un escalonamiento de la moda, terminando por encima de la esquina superior derecha de la vacía subboard. Hacer una cosa similar con el $n/3$ columnas a la derecha de la vacía subboard. A continuación, cada cuadrado es atacado por un estafador, mientras que este gran subboard permanece vacío.
Sin embargo, este resulta ser el peor de los casos. Es decir, todos los $(\lfloor 2n/3 \rfloor +1) \times (\lfloor 2n/3 \rfloor +1)$ subboard debe contener al menos una torre.
Para probar esto, supongamos que tenemos un vacío $k \times k $ subboard para algunos $k > 2n/3$. En primer lugar, muestran que cada fila debe tener al menos una torre.
Si no, entonces hay una fila sin torres. Cada cuadrado en esta fila debe ser atacado por algún estafador en la misma columna. Ahora considere las plazas de esta fila que están en el mismo $k$ columnas como el vacío $k \times k $ subboard. El ataque de las torres debe ser, por tanto, en la $n-k $ filas fuera de este vacío subboard. Ya que cada fila puede tener en la mayoría de las $2$ torres en él, hay en la mayoría de las $2 (n-k) < k $ atacar torres aquí, por lo que algunos plaza en el vacío de la fila de la izquierda unattacked. Esto le da una contradicción.
Por lo tanto, hay al menos una torre en cada fila. Por simetría, también hay al menos una torre en cada columna. Por supuesto, no puede haber más de $2$ torres en cualquier columna. Deje $r $ el número de filas con $2$ torres. El número total de torres es, a continuación,$n+r $. Por la doble contabilización, también hay $r $ columnas con dos torres en ellos.
Ahora estos $n+r $ torres no puede estar en el $k \times k $ subboard. De ahí que en el $n-k $ filas fuera de la subboard, o $n-k $ columnas fuera de la subboard.
El $n-k $ filas pueden tener en la mayoría de $\max (n-k, r) $ filas entre ellos con $2$ torres, y por lo tanto contienen en la mayoría de las $n-k + \max (n-k, r) $ torres en total. Por simetría, el mismo es cierto de la $n-k $ columnas. Por lo tanto el número total de torres es en la mayoría de los
$$ 2 (n-k) + 2 \max (n-k, r) \le 2 (n-k) + n-k + r = 3 (n-k) +r. $$
(Tenga en cuenta que este contaría dos veces cualquier torre que se encuentra en una fila y columna diferente de la subboard, pero ya que estamos recibiendo un límite superior, está bien sobre contar algunas torres.)
Sin embargo, sabemos que hay $n+r $ torres. Por lo tanto $n+r \le 3 (n-k) +r $, que se simplifica a $k \le 2n/3$, una contradicción.
Por lo tanto si $k > 2n/3$ cada $k \times k $ subboard debe contener al menos una torre.
