¿Cuándo ecuaciones representan la misma curva?

Question

Supongamos que tenemos dos conjuntos de ecuaciones paramétricas $\mathbf c_1(u) = (x_1(u), y_1(u))$ $\mathbf c_2(v) = (x_2(v), y_2(v))$ que representa a dos 2D plano de curvas. Cuando digo "2D plano de curvas" me refiero a que $\mathbf c_1(u)$ $\mathbf c_1(u)$ son asignaciones de compacto intervalos en $\mathbb R$$\mathbb R^2$. Podemos suponer (sin pérdida de generalidad, creo) que $\mathbf c_1:I \to \mathbb R^2$ $\mathbf c_2:I \to \mathbb R^2$ donde $I=[0,1]$. Usted puede asumir la continuidad o la diferenciabilidad de $\mathbf c_1(u)$ $\mathbf c_2(u)$ , si eso ayuda.

Estoy interesado en saber cómo se puede determinar que estos dos conjuntos de ecuaciones representan la misma curva. En otras palabras, ¿cómo puedo determinar que $\mathbf c_1(I)$ $\mathbf c_2(I)$ están en el mismo punto del conjunto.

Un interesante caso especial: ¿qué pasa si las ecuaciones paramétricas son todas las funciones racionales? En este caso, a menudo es posible implicitize -- es decir, convertir a ecuaciones de la forma$f_1(x,y)=0$$f_2(x,y)=0$. Entonces, si las dos curvas son el mismo punto de set, me imagino que algo puede ser dicho acerca de $f_1$$f_2$? Tal vez uno de ellos es un múltiplo de la otra, o algo por el estilo??

Aún más simple (pero interesante): ¿y si todas las funciones involucradas son polinomios.

El implicitization no necesariamente resuelve el problema original, aunque. Es claro que $\mathbf c_1(I)$ es un subconjunto de la puesta a cero $Z_1 = \{(x,y) \in \mathbb R^2 : f_1(x,y) = 0\}$, pero podría ser una adecuada subconjunto. Por lo tanto, incluso si sabemos cómo se relacionan $Z_1$$Z_2$, esto podría no nos dicen mucho acerca de cómo $\mathbf c_1(I)$ está relacionado con $\mathbf c_2(I)$. Podemos decir nada acerca de cuando el implicitization enfoque de trabajo y cuando no?

Mi pregunta fue inspirado por este.

Podría haber alguna relación con esta pregunta, pero tanto la pregunta y la respuesta son escritos en una jerga que no es familiar para mí.

Esto tiene aplicaciones prácticas -- curvas en el diseño y fabricación se describe a menudo mediante el uso racional o polinomio parametrizaciones, y sería agradable si había algún modo de identificar cuando dos curvas son las mismas. En ingeniería y fabricación, nosotros sólo nos preocupamos de las formas de las curvas (es decir, conjuntos como $\mathbf c_1(I)$$\mathbf c_2(I)$), no su parametrización. Por ejemplo, una circular de la rueda es todavía circular, independientemente de cómo el círculo curva parametrizada. La parametrización es artificial, en algún sentido, y quiero ser capaz de ignorar sus efectos cuando la comparación de dos curvas.

En caso de que no importa a nadie, esto no es la tarea :-).

Ejemplo (para el racional caso)

$$\mathbf c_1(t) = \left( \frac{1 - (2 - \sqrt2)t - (\sqrt2 - 1)t^2} {1 - (2 - \sqrt2)t + (2 - \sqrt2)t^2}, \frac{\sqrt2 t - (\sqrt2 - 1)t^2} {1 - (2 - \sqrt2)t + (2 - \sqrt2)t^2} \right)$$

$$\mathbf c_2(t) = \left( \frac{1 -t^2}{1 + t^2}, \frac{2} {1 + t^2} \right)$$

Aquí $\mathbf c_1(I) = \mathbf c_2(I)$. Ambos están en el primer cuadrante del círculo unitario, en realidad.

Answer 1

Considerar el problema más sencillo de dos curvas parametrizadas $(x_i(t),y_i(t))$ a partir de las $(0,0)$ tiempo $t=0$, y la igualdad de las trayectorias de hasta reparametrization, que es más fuerte que la igualdad de punto conjuntos y una condición más natural como es local (arriba a la coincidencia de los puntos de partida). De forma heurística, y en cierta medida en rigor, no es un criterio utilizable.

Queremos que cuando $x_1 = x_2$,$y_1 = y_2$, de modo que la función bivariante $x_1(t)-x_2(s)$ divide $y_1(t)-y_2(s)$ (y viceversa) en un anillo de funciones. Su relación es una función invertible con valores positivos, al menos para un valor distinto de cero $s,t$ cerca de $0$. De hecho, tenemos que ser positivos sólo para distinto de cero $(s,t)$ a que $x_1(s)=x_2(t)$ o de la misma para $y$.

Ejemplo: la parábola y media parábola.

La curva a es $(t,t^2)$.

La curva B es $(s^2,s^4)$.

$x_1(t)-x_2(s) = t - s^2$

$y_1(t)-y_2(s) = t^2 - s^4$

La proporción es $(t + s^2)$

Esto es positivo cerca del locus donde $x_1(t)=x_2(s)$ (es decir,$t=s^2$). En el lugar donde $y_1(t)=y_2(s)$ (es decir,$t^2=s^4$), esto es positivo para $t>0$ y negativo para $t < 0$. La positividad de la condición sabe que la mitad de la parábola es la curva de B! Eso es una buena señal de que esta es la respuesta completa a la simplificación del problema, o en la pista de la derecha.

Encontrar un punto de intersección de dos curvas paramétricas O detectar una diferencia entre las curvas es más simple que el problema general de la curva de intersección. Tomar un punto en una curva, para resolver los valores de los parámetros que tendría lugar su $x$ coordinar en la otra curva, y probar si el $y$ coordenadas son las mismas. Para algebraicas parametrizaciones de este cálculo se puede hacer exactamente.

Para el punto-establecer la igualdad problema, busque los ceros de la $st$ proporción. Los valores de estos parámetros el segmento de las dos curvas en los arcos. Entonces no es un problema combinatorio de la orientación y la coincidencia (por el procedimiento anterior) idénticos, los arcos de las dos curvas, y comprobar si ambas curvas están cubiertos por la coincidencia de los arcos.

Answer 2

Descargo de responsabilidad. Esta respuesta es más como una pregunta. Desde la (+100) recompensa ha sido planteada por el mismo autor, no va a ser adjunto a esta respuesta. Pero si alguien puede probar mi parametrización de la conjetura (ver más abajo), eso sería genial. (Actualización. La recompensa no ha sido adjudicado a nadie)

Porque vamos a calcular integrales definidas, es importante tener cerrados los intervalos de los parámetros $t$ . Para el ejemplo presentado en la pregunta: $$ \mathbf c_1(0) = (1,0) \quad ; \quad \mathbf c_1(1) = (0,1) \\ \mathbf c_2(0) = (1,0) \quad ; \quad \mathbf c_2(1) = (0,1) $$ Así que estamos de suerte: si ambos parámetros $t$ se les permite estar restringida al intervalo de $[0,1]$, a continuación, las dos curvas, por lo menos tienen los mismos puntos finales.
Considere la posibilidad de la expresión de $\left[x(t)y'(t)-y(t)x'(t)\right] dt$ . Es dos veces el área de un infinitesimal triángulo con vértices en $(0,0)$ , $(x(t),y(t))\,$ y $\,(x(t+dt),y(t+dt))$ : $$ 2 \times \mbox{área de}\,\Delta = det\begin{bmatrix} x(t) & x(t+dt) \\ y(t) & y(t+dt) \end{bmatrix} = \left[x(t)\frac{y(t+dt)-y(t)}{dt} - y(t)\frac{x(t+dt)-x(t)}{dt}\right] dt $$ Ahora vamos a calcular las siguientes cantidades, con el final de los puntos de $\,(a,b) = (0,1)\,$ $\,m,n\,$ positivo o cero enteros. La integración de más de un área en lugar de una longitud de arco es preferido por algunas buenas razones (: por ejemplo, supongamos que la curva se recorre de ida y vuelta en algunos lugares). $$ M_{m,n} = \int_a^b x(t)^m y(t)^n \left[x(t)y'(t)-y(t)x'(t)\right] dt $$ Las cantidades $M_{m,n}$ , no en todos, por coincidencia, son similares a las desviaciones (en las estadísticas de términos) o momentos de inercia (en términos de la física). Se cree que el resultado de estas integrales es independiente de cualquier parametrización. Esto puede ser llamado una Parametrización de la Conjetura.
Se supone que es verdadero en la secuela. Alguien puede probar o refutar?

ARCE ha sido invocada para ahorrar tiempo y esfuerzo. Definiciones para el ejemplo que se da en el OP pregunta y primeros pasos:

x1(t) := (1 - (2 - sqrt(2))*t - (sqrt(2) - 1)*t^2)/
 (1 - (2 - sqrt(2))*t + (2 - sqrt(2))*t^2);
y1(t) := (sqrt(2)*t - (sqrt(2) - 1)*t^2)/
 (1 - (2 - sqrt(2))*t + (2 - sqrt(2))*t^2);
x2(t) := (1-t^2)/(1+t^2); y2(t) := 2*t/(1+t^2);
x1d(t) := simplificar(diff(x1(t),t)); y1d(t) := simplificar(diff(y1(t),t));
x2d(t) := simplificar(diff(x2(t),t)); y2d(t) := simplificar(diff(y2(t),t));
M00 := int(x1(t)*y1d(t)-x1d(t)*y1(t),t=0..1);
N00 := int(x2(t)*y2d(t)-x2d(t)*y2(t),t=0..1);
verificar(M00,N00,iguales);
 cierto

Para el ejemplo a la mano, la orden más baja (área) momentos son, de hecho, exactamente el mismo para las dos parametrizaciones: $$ M_{0,0} = \frac{\pi}{2} \\ M_{1,0} = 1 \quad ; \quad M_{0,1} = 1 \\ M_{2,0} = \frac{\pi}{4} \quad ; \quad M_{1,1} = \frac{1}{2} \quad ; \quad M_{0,2} = \frac{\pi}{4} \\ M_{3,0} = \frac{2}{3} \quad ; \quad M_{2,1} = \frac{1}{3} \quad ; \quad M_{1,2} = \frac{1}{3} \quad ; \quad M_{0,3} = \frac{2}{3} \\ M_{4,0} = \frac{3\pi}{16} \quad ; \quad M_{3,1} = \frac{1}{4} \quad ; \quad M_{2,2} = \frac{\pi}{16} \quad ; \quad M_{1,3} = \frac{1}{4} \quad ; \quad M_{0,4} = \frac{3\pi}{16} \\ M_{5,0} = \frac{8}{15} \; ; \; M_{4,1} = \frac{1}{5} \; ; \; M_{3,2} = \frac{2}{15} \; ; \; M_{2,3} = \frac{2}{15} \; ; \; M_{1,4} = \frac{1}{5} \; ; \; M_{0,5} = \frac{8}{15} $$ Y así sucesivamente y así sucesivamente. De esta manera puede ser confirmado, paso por paso, que las dos parametrizaciones representan una y la misma curva. Ella sigue siendo insatisfactoria, que no podemos establecer todo en un solo paso, sin embargo: ARCE no pudo calcular por la expresión general $\,M_{m,n}$ .

Answer 3

Sería más fácil para usted si usted tiene un buen conjunto de definiciones para entender el problema. Así que aquí la dejo algunos de ellos con la esperanza de que le permitirá llegar a la respuesta correcta. Si usted todavía tiene problemas que acabo de preguntar en los comentarios.

Por un $C^1$ ruta en $\Re^n$ está destinado continuamente una función derivable $\gamma:[a,b] \rightarrow \Re^n$.

El $C^1$ path $\gamma:[a,b] \rightarrow \Re^n$ se dice que ser suave si $\gamma' (t) \not= 0$ todos los $t \in [a,b]$.

Después de haber definido que, supongamos que $\alpha:[a,b] \rightarrow \Re^n$ $\beta:[c,d] \rightarrow \Re^n$ dos $C^1$ rutas que son "geométricamente equivalente" en el sentido de que tienen el mismo punto inicial y el mismo terminal punto, es decir, $\alpha(a)= \beta(c)$ $\alpha(b)= \beta(d)$ respectivamente. Entonces decimos que el camino de $\alpha:[a,b] \rightarrow \Re^n$ es equivalente a la ruta de acceso $\beta:[c,d] \rightarrow \Re^n$ si y sólo si existe un $C^1$ función $$\psi:[a,b] \rightarrow [c,d]$$ such that $\psi([a,b])=[c,d], \alpha = \beta \circ \psi$ and $\psi'(t)> 0$ for all $t\in[a,b].$

El conjunto $C \subseteq \Re^n$ se llama una curva si y solo si es la imagen de un camino liso $\gamma$ que es uno-a-uno. Y cualquier uno-a-uno suave camino que es el equivalente a $\gamma$ a continuación, se llama una parametrización de $C$.

Por último, si $\vec{x}=\gamma(t) \in C$ $\vec{T}(\vec{x}) =\frac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}$ es una unidad de vector tangente a$C$$\vec{x}$, e $\vec{T}(\vec{x})$ es independiente de la parametrización de la $\gamma$$C$. Tal asignación continua $T:C \rightarrow \Re^n$ se llama a una orientación para $C$. Así, una orientada a la curva, a continuación, un par de $(C,T)$ o sólo $C$. Y $-C$ es el mismo geométrica de la curva con la orientación opuesta $(C,-T)$.