cuáles de los espacios son localmente compactos

Question

[NBHM_2006_PhD Screening Test_Topology]

cuáles de los espacios son localmente compactos

1. $A=\{(x,y): x,y \text{ odd integers}\}$

2. $B=\{(x,y): x,y\text{ irrationals}\}$

3. $C=\{(x,y): 0\le x<1, 0<y\le 1\}$

4. $D=\{(x,y): x^2+103xy+7y^2>5\}$

Un espacio topológico $X$ es localmente compacto si cada punto tiene una vecindad contenida en un conjunto compacto.

bueno, puedo probar que $\mathbb{Q}$ no es localmente compacto, por lo que 1,2, no son localmente compactos, 3 es claramente localmente compacto. No estoy seguro acerca de 4. Gracias.

Answer 1

Un subconjunto de $\mathbf R^2$ es compacto si es cerrado y acotado (por el teorema de Heine-Borel), por lo que un subespacio de $\mathbf R^2$ es localmente compacta si una bola cerrada suficientemente pequeña alrededor de cualquier punto dado sigue siendo cerrada como subconjunto de $\mathbf R^2$ (porque la compacidad es absoluta, y por supuesto está acotada). Esto debería ser suficiente para resolver el problema por sí mismo.

En cuanto a las respuestas, 1 es localmente compacta como dijo martini, 2 efectivamente no es localmente compacta (pero no se deduce del hecho $\mathbf Q$ no es localmente compacta), 3 es localmente compacta, y 4. es localmente compacta.

Como pista adicional para 4.: observe que es un subconjunto abierto de $\mathbf R^2$ .

Answer 2

Para 4):

Todos los subconjuntos abiertos o cerrados de un espacio de Hausdorff localmente compacto son localmente compactos en la topología del subespacio. $R^2$ es localmente compacta y Hausdorff y $D = p^{-1}((5, \infty))$ es la imagen inversa de un conjunto abierto bajo una función continua $p(x,y) = x^2+103xy+7y^2$ .

Answer 3

Creo que 4 es localmente compacto si se tiene en cuenta $\Bbb{R}^2$ con la topología euclidiana. Si se traza la región $D$ en wolframalpha deberías ver por qué.

Por cierto el hecho de que 2) no sea localmente compacto no sigue de $\Bbb{Q}$ no siendo localmente compacta, aunque la prueba es similar.