Teorema de Lang-Nishimura todavía realiza o no cuando son supuestos?

Question

Teorema (Lang-Nishimura). Sea $X \,-\!\!\rightarrow Y$ mapa racional entre $k$-variedades, donde $Y$ es correcta. Si $X$ tiene un suave $k$-punto, $Y$ tiene un $k$-punto.

¿El teorema de Lang-Nishimura todavía tiene si alguno de los siguientes cambios se realizan?

1. La asunción que $Y$ es apropiada se cae.
2. El punto dado $k$ $X$ no se supone que para ser liso.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

El teorema de Lang-Nishimura puede fallar si cualquiera de los citados cambios se hicieron.

1. La suposición de que $Y$ es adecuada se ha caído.

   Deje $k$ ser un campo finito. Deje $X = \mathbb{A}_k^1$, que es irreducible. Deje $Y$ el de apertura subvariedad $X - X(k)$$X$. La identidad de $Y \to Y$ representa una racional mapa de $X \,-\!\!\rightarrow Y$. Por otra parte, $X$ tiene un suave $k$-punto (de hecho, todos los de $X$ es suave sobre la $k$), pero $Y(k) = \emptyset$.

2. El da $k$-punto en $X$ no se supone que ser suave.

   Deje $k = \mathbb{R}$. Deje $X$ ser afín a la curva de $x^2 + y^2 = 0$$\mathbb{A}_\mathbb{R}^2$, que tiene exactamente un $\mathbb{R}$-punto, es decir,$P := (0, 0)$. Tenga en cuenta que $X$ no es suave en $P$. Desde el polinomio $x^2 + y^2$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$, la variedad $X$ es irreductible. Deje $Y$ ser el subscheme de $\mathbb{A}_\mathbb{R}^1$ definido por $t^2 + 1 = 0$. Desde $Y$ es finito $\mathbb{R}$, es correcto. A continuación, $(x, y) \mapsto y/x$ define racional mapa de $X \,-\!\!\rightarrow Y$ definido en todas partes excepto en $P$. Pero $Y(\mathbb{R}) = \emptyset$.

   También se puede encontrar un contraejemplo en el que $X$ $Y$ son geométricamente integral. Por ejemplo, supongamos $X$ ser el proyectivas de cierre en $\mathbb{P}^2_\mathbb{R}$ de los afín a la curva de $y^2 = -(x^4 + 1)$$\mathbb{R}$, y deje $Y$ ser su suave proyectiva modelo. Uno puede mostrar que $X$ tiene un nonsmooth $\mathbb{R}$-punto en el infinito, y que $Y(\mathbb{R})$ está vacía.