Número de dados rollos tomado para llegar a una cierta suma

Question

Estaba leyendo acerca de las sumas de las tiradas de dados y Chernoff límites, y pensé en una pregunta que yo no podía, obviamente, responder con las técnicas sé.

Te dan un número $x$ y le dijo que se genera sumando posterior (I. I. D.) rollos de una $n$colindado mueren, donde los lados están numerados $1, 2, ..., n$. Deje $X$ ser una variable aleatoria que representa el número de rollos que fueron resumidos.

¿Qué sabemos acerca de la distribución de $X$? Podemos analizar el uso de Chernoff límites?

Para hacerlo más concreto, digamos que está dado el número 36 y dicen que es la suma de los rollos de un estándar de seis caras morir. Es muy poco probable que se tomó 36 rollos por la suma de 36 (la probabilidad de 36 '1 en una fila) y es igualmente probable que sólo tardó seis rollos (seis '6 en una fila - curiosamente esto es mucho más probable que el otro extremo).

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Es fácil en la práctica para encontrar la probabilidad que la suma parcial después de $t$ dados arroja es $s$ usando una repetición: $$P(S_t=s)=\sum_{i=1}^6 P(S_{t-1}=s-i)/6$$ starting with $ P(S_0=0)=1.$ For example $P(S_{6}=36) = \frac{1}{6^{6}}$, $P(S_{7}=36) = \frac{917}{6^{7}}$ and $P(S_{36}=36) = \frac{1}{6^{36}}$.

If you suppose that the target $x=36$ was set in advance, the probability the target is hit is $\sum_t P(S_t=36) \approx 0.285711734$. So assuming you are asked the question when the target is hit (and if not then the experiment is restarted), you can work out the conditional probabilities by dividing the probabilities by this sum. You get the approximate figures in the table below.

The conditional expected value for $T$ is about $10.5238577$, slightly higher than Ross Millikan's quick approximation of $\frac{2}{7}\cdot 36\approx 10.2857$.

t   P(S_t=36)   P(S_t=36 | S_i=36 for some i)
6   2.143E-05   7.502E-05
7   3.276E-03   1.147E-02
8   2.184E-02   7.645E-02
9   5.324E-02   1.864E-01
10  7.153E-02   2.504E-01
11  6.331E-02   2.216E-01
12  4.069E-02   1.424E-01
13  2.017E-02   7.061E-02
14  8.033E-03   2.812E-02
15  2.642E-03   9.246E-03
16  7.323E-04   2.563E-03
17  1.737E-04   6.078E-04
18  3.563E-05   1.247E-04
19  6.377E-06   2.232E-05
20  1.001E-06   3.505E-06
21  1.385E-07   4.847E-07
22  1.691E-08   5.918E-08
23  1.824E-09   6.384E-09
24  1.737E-10   6.080E-10
25  1.457E-11   5.100E-11
26  1.073E-12   3.754E-12
27  6.889E-14   2.411E-13
28  3.831E-15   1.341E-14
29  1.825E-16   6.387E-16
30  7.342E-18   2.570E-17
31  2.447E-19   8.566E-19
32  6.579E-21   2.303E-20
33  1.371E-22   4.797E-22
34  2.077E-24   7.269E-24
35  2.036E-26   7.126E-26
36  9.695E-29   3.393E-28

Answer 2

El promedio de un dado echado a un lado seis es $3 \frac 12$, por lo que usted esperaría que han rodado sobre $\frac 27\cdot 36 \approx 10$ veces para conseguir una suma de $36$