$\sum_{n\ge1}\frac{a_n}{(s_n)^\alpha} \text{converges} \iff \alpha > 1$, donde $\sum_{n\ge1} a_n$ es divergente

Question

Que $\forall n \quad a_n >0, \quad s_n=\sum_{k=1}^n a_k$

Si $\sum_{n\ge1} a_n$ diverge, que muestran que

$$\sum_{n\ge1}\frac{a_n}{(s_n)^\alpha} \text{converges} \iff \alpha > 1$$

Answer 1

Se puede proceder como se hace con las sumas de Riemann : se demuestra que la serie está dominado por un "domino" de la serie. Por lo tanto ,poner $f(t)=t^{1-\alpha}$ y $w_n=f(s_n)$, tenemos

$$ w_{n-1}-w_n = f(s_{n-1})-f(s_{n-1}+a_n) = f'(t), t\in [s_{n-1},s_{n-1}+a_n] \etiqueta{1} $$

Al $\alpha \gt 1$, podemos deducir $w_{n-1}-w_n \geq (\alpha-1)\frac{a_n}{s_n^{\alpha}}$, lo que muestra la convergencia que necesitamos. Al $\alpha \lt 1$, podemos deducir $w_n-w_{n-1} \leq (1-\alpha)\frac{a_n}{s_n^{\alpha}}$, lo que muestra la divergencia que necesitamos.

Finalmente, cuando se $\alpha=1$, por lo que será suficiente para demostrar que para cualquier $i$, hay un $j \gt i$ tal que

$$ \sum_{k=i}^j \frac{a_k}{s_k} \geq 1 \etiqueta{2} $$

Desde que la serie se $\sum_{}{a_k}$ diverge, hay un $j$ tal que

$$ \sum_{k=i}^j a_k \geq s_i \etiqueta{3} $$

así que

$$ \sum_{k=i}^j \frac{a_k}{s_k} \geq \sum_{k=i}^j \frac{a_k}{s_i} \geq 1 \etiqueta{4} $$

como deseaba.