Multiplicidad geométrica de los valores propios repetidos

Question

Todavía me resulta difícil determinar la multiplicidad geométrica para los valores propios repetidos y el espacio propio resultante. Por ejemplo, no estoy muy seguro de qué hacer con la siguiente matriz, donde los valores propios repetidos $\lambda_1 = \lambda_2 = 5$ :

$$A=\begin{bmatrix} 5 & -4 & 0\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 5 \end{bmatrix}, [A-\lambda I] = \begin{bmatrix} 0 & -4 & 0\\ 1 & -5 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$

No es obvio cómo determinar los vectores propios a partir de esto, ya que no hay variables libres, y mover $e_2$ por ejemplo (para la primera fila) tal que $-4e_2 = 0 \rightarrow e_2 = 0$ muestra que todos los demás valores resultan también cero (lo que no es un vector propio válido). ¿Cómo se puede determinar la multiplicidad geométrica y el espacio propio con una matriz de este tipo?

Answer 1

Se nos da:

$$A=\begin{bmatrix} 5 & -4 & 0\\ 1 & 0 & 2\\0 & 2 & 5 \end{bmatrix}$$

Formamos y resolvemos: $|A-\lambda I|=\begin{bmatrix}0 & -4 & 0\\ 1 & -5 & 2\\0 & 2 & 0\end{bmatrix} = 0$

Esto produce un polinomio característico y valores propios como:

$$-(\lambda-5)^2 \lambda = 0 ~\rightarrow ~ \lambda_1 = 0, \lambda_{2,3} = 5$$

Tenemos multiplicidades de $1$ y $2$ para esos valores propios.

Para encontrar los vectores propios, generalmente resolvemos $[ A - \lambda_i I]v_i = 0$ pero como tenemos un valor propio repetido, es posible que tengamos que cambiar esa estrategia y encontrar un valor propio generalizado.

Así, para $\lambda_1 = 0$ tenemos:

$[A- 0I]v_1 = \begin{bmatrix}5 & -4 & 0\\ 1 & 0 & 2\\0 & 2 & 5\end{bmatrix}v_1 = 0$

Haciendo la forma reducida de filas (RREF), se obtiene:

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & \dfrac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}v_1 = 0$

Así, $b = -\dfrac{5}{2}c, a = -2c \rightarrow \text{let} c = 2 \rightarrow b = -5, a= -4, v_1 = (-4,-5,2)$ .

Repitiendo este mismo proceso para el segundo valor propio, $\lambda_2 = 5$ tenemos como RREF:

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}v_2 = 0$

Así que, $b = 0$ , $a = -2c$ , dejemos que $c = 1 ~~\rightarrow a = -2, v_2 = (-2,0,1)$

Desafortunadamente, no podemos obtener otro vector propio linealmente independiente, por lo que necesitamos obtener uno generalizado, haciendo $[A - \lambda_3 I]v_3 = v_2$ (esto no siempre funciona), por lo que tenemos:

$\begin{bmatrix}0 & -4 & 0 \\ 1 & -5 & 2 \\0 & 2 & 0\end{bmatrix}v_3 = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

Después de RREF, llegamos a:

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}v_3 = \begin{bmatrix} \dfrac{5}{2} \\ \dfrac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix}$

Así que tenemos: $a = \dfrac{5}{2} -2c, b = \dfrac{1}{2} \rightarrow ~~ \text{let} ~~ c = 0 \rightarrow a = \dfrac{5}{2}, b = \dfrac{1}{2}$ Por lo tanto $v_3 = (\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2},0)$

Deberías ponerte manos a la obra en lo que respecta a tus multiplicaciones algebraicas frente a las geométricas.

Juntando todo esto, tenemos los pares valor propio/vector propio:

• $\lambda_1 = 0, v_1 = (-4, -5, 2)$
• $\lambda_2 = 5, v_2 = (-2, 0, 1)$
• $\lambda_3 = 5, v_3 = (\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2},0)$

Answer 2

El eigespacio correspondiente a $\lambda_1=\lambda_2=5$ es precisamente el núcleo de la matriz $$[A-5I]= \begin{bmatrix} 0 & -4 & 0\\ 1 & -5 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$ Es decir, buscamos el conjunto de soluciones para $$\begin{bmatrix} 0 & -4 & 0\\ 1 & -5 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}\,\, \vec v=\vec0$$ Podemos resolver esto encontrando el núcleo de la versión reducida de filas de esta matriz, que es $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Como puedes ver, la tercera entrada es nuestra variable libre. El vector $$\vec v_5= \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$ forma una base del núcleo de esta matriz, lo que nos dice que $\vec v_5$ es una base de nuestro eigespacio. Es decir, la multiplicidad geométrica de este valor propio es $1$ .

Answer 3

El procedimiento habitual para hallar el eigenespacio y la GM(multiplicidad geométrica) de un determinado eigenvector de una matriz A es el siguiente:

1).Resolver el polinomio característico de A |A-lamda*I|, que da lugar a un polinomio n-ésimo respecto a lamda.

2)Si has obtenido un grupo de soluciones reales, digamos, lamda 1,lamda 2,lamda 3...lamda r, del paso anterior, para cada una de las lamda s, vuelve a ponerlo en la ecuación homogénea (A-lamda*I) x= 0 con respecto a x. Si encuentras que la ecuación tiene sólo solución trivial, entonces esta lamda no es un valor propio, así que puedes dejarla y pasar a la siguiente lamda. En caso contrario, esta lambda sí es un valor propio. Resuelva la ecuación para obtener el núcleo de (A- lamda I), cuyos vectores básicos son sólo los vectores propios correspondientes a A y cuya dimensión es sólo la GM de esta lama.

Y nótese que para cualquier valor propio GM<=AM(multiplicidad algebraica) siempre se mantiene.

Answer 4

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la matriz $A-5I$ tiene rango $2$ así que $\dim(\ker(A-5I)) = 1$ . Esto significa que la multiplicidad geométrica del valor propio $\lambda=5$ es 1. Para obtener un vector no trivial en el núcleo de $A-5I$ Intente reducir las filas, ya que esto equivale a multiplicar a la izquierda por una matriz no singular. Esta operación no cambia el núcleo de la transformación lineal. Una vez que obtengas este vector propio, habrás determinado el espacio propio por completo.

La reducción de filas da: $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

para poder multiplicar por un vector arbitrario $[x\; y\; z]^t$ , establece que el resultado es igual a $[0\; 0\;0]^t$ y resolver para $x,y,z$ .