La diferenciación bajo el signo integral para los volúmenes de las dimensiones superiores

Question

Considere la posibilidad de un suave convexo/dominio compacto $D\subset \mathbb{R}^n$ y un liso, concavidad de la función de $F:D\to \mathbb{R}$. Entonces podemos definir la función que simplemente toma el volumen de la parte superior del contorno de los conjuntos determinado por el argumento:

$$G(t) = \int_{\{x\in D \; : \; F(x) \ge t\}} d\lambda$$

donde $\lambda$ denota la medida de Lebesgue. Estoy tratando de encontrar una expresión para $\frac{d}{dt}G(t)$.

Esto parece como nada más que un caso especial de una de mayores dimensiones Leibniz Integral de la Regla, pero la wikipedia me da un sustancialmente la fórmula más general que sospecho que necesito para este caso (para las definiciones de términos ver el enlace):

$$\frac{d}{dt} \int_{\Omega(t)} \omega = \int_{\Omega(t)} i_{\vec{v}}(d_x \omega) + \int_{\partial \Omega(t)} i_{\vec{v}}\omega + \int_{\Omega(t)} \dot{\omega}.$$

Casi no tengo de fondo en formas diferenciales, pero de inmediato sé que, para empezar, la forma de volumen y estoy integrando es invariable en el tiempo de manera que el último término gotas de aquí. Por otra parte, dado que sólo estoy preocupado con una densidad uniforme, me imagino el primer término debe ser igual a cero? (Esto corresponde a la intuición de que todo lo que realmente importa aquí es cuánto volumen de sangrados fuera de la bolsa $\Omega(t)$' como yo cinch se cierran mediante el aumento de $t$, y, por tanto, sólo tengo que estar preocupado con el incremento de flujo de volumen a través de la frontera.) Pero que puede ser muy incorrecto.

Idealmente, si alguien pudiera ayudarme (idealmente, ambas de forma intuitiva y analítica) para ser capaz de comprender y describir este derivado estaría muy agradecido! En particular, una expresión de lo que la regla de Leibniz se reduce a que en este caso sería la mayoría de la recepción.

Answer 1

Si usted está considerando volúmenes en $\mathbb R^n$, no hay necesidad de obtener formas diferenciales involucradas - sólo tiene que utilizar el "Reynolds transporte teorema" de la misma página de la Wikipedia, que en este caso, sólo da el límite de la integral

$$\frac d{dt}G(t) = \int_{\{ F = t\}} \mathbf{v}\cdot \mathbf{\nu}\ dA$$

donde $\mathbf{v} = \nabla F / |\nabla F|^2$ es el vector de velocidad de la esfera de la frontera, $\mathbf{\nu}$ es el exterior de la unidad normal y $dA$ es el hyperarea elemento en $\{F =t\} = \partial \{F\le t\}$. Así que tenemos dos cosas para justificar: ¿por qué esta fórmula verdad, y por qué es que la expresión correcta para la velocidad?

La intuición detrás de la integral de la fórmula es bastante simple: si el límite se mueve en el exterior la dirección de la normal con la velocidad de la $s$, en un intervalo de tiempo $dt$, parte de la frontera con hyperarea $dA$ va a barrer el volumen extra $s\ dt\ dA$; por lo que el conjunto de límite se llevará a cabo el volumen extra $dG = dt \int s\ dA$. Dado que el movimiento de la frontera con velocidad de $\bf v$ es equivalente a mover normalmente con velocidad de $\bf v \cdot \nu$, obtenemos $dG/dt = \int{\bf v \cdot \nu}\ dA$ como se desee.

Para justificar este rigor es un poco difícil en este liso caso creo que debemos introducir la idea de los flujos y la Mentira derivados, que no voy a tratar de hacer aquí. Más en general podríamos citar algo así como la co-área de fórmula con $u=F$, $g=|\nabla F|^{-1}$.

Para la velocidad de expresión, tenga en cuenta que hay cierta libertad en la forma en que elegimos $\bf v$, ya que podría reajuste de parámetros el límite a medida que nos movemos a través del tiempo. (Lo que permanece invariable es el normal de la velocidad de $\bf v \cdot \nu$.) Por lo tanto sólo tenemos que encontrar algún camino de $\mathbf{x}(t)$ que se queda en $\{F = t\}$, y la velocidad de esta ruta nos dará una velocidad de la frontera. Supongo que el $\mathbf{v}=\nabla F / |\nabla F|^2$ debe ser algo intuitivo - mayor $|\nabla F|$ $F$ tiene una pronunciada pendiente, de modo que usted tiene que ir más lento con el fin de lograr la misma tasa de cambio de $F$. Si $\mathbf{x}'(t)=\nabla F/|\nabla F|^2$, a continuación, a partir de la regla de la cadena podemos calcular $\frac d{dt}F(\mathbf{x}(t)) = \nabla F \cdot \mathbf{x}'(t)=1$, por lo que si $F(\mathbf{x}(t))=t$ $F(\mathbf{x}(s))= t+\int_t^{s} 1 = s$ de todos los tiempos posteriores a $s$; es decir, $\mathbf{x}(t)$ se queda en el límite deseado.