Este es un tipo de seguimiento a la otra pregunta, pero para no ser una carga para esa pregunta y sus respuestas con nuevos comentarios, he decidido crear esta pregunta aparte. También, parece que este problema es fundamentalmente diferente de otros problemas similares en el sentido de formulación y mencionadas en la pregunta, he ligado. Por supuesto, tengo la esperanza de que alguien vea algo que yo no, y ayudar a lidiar con esto, y compartir la alegría del descubrimiento. El problema es el siguiente:
Demostrar o refutar: Si $F_{n}$ $n^{th}$ número Fibonacci, a continuación, $${F_{n}^2} + 43$$
no puede ser un primo, a excepción de dos casos de $n$.
He comprobado los casos de $n$ hasta algunos miles, y no había un primo, excepto 2 ocurrencias de los pequeños $n$.
Nota que el más pequeño de los divisores de estos números tiene una variedad de valores, y esto significa que la solución que se basa en conguences sólo es raro.
También, en muchos casos, los números de ${F_{n}^2} + 43$ son productos de sólo 2 de los números primos, y hay casos en que uno divisor es pequeño, otro grande, pero también hay casos en los que ambos divisores son aproximadas en valor. Lamentablemente, esto indica que es muy poco probable que la prueba puede depender de algún tipo de identidad que involucran números de Fibonacci.
Sospecho que este problema es muy difícil de probar (que todos estos números son compuesto), o hay un contra-ejemplo para algunos muy grandes $n$ (vamos a decir $n$ es de un millón o así).
Esto puede ser un problema muy difícil.
