Ejemplos de superficies de Riemann?

Question

Mientras que el estudio de Complejos Análisis, he llegado a través de las Superficies de Riemann: http://mathworld.wolfram.com/RiemannSurface.html

Puede alguien por favor proporcione algunos ejemplos de no-Riemannable de las superficies? Muchas gracias!

Answer 1

Una superficie de Riemann es una $1$-dimensiones complejo colector, es decir, una superficie que admite una estructura compleja. La compleja estructura de una superficie de Riemann induce una orientación canónica. Así, en particular, un nonorientable superficie no puede ser una superficie de Riemann. Ejemplos de nonorientable superficies son los verdaderos proyectiva del plano y la botella de Klein.

Answer 2

Tu pregunta no realmente hacer un montón de sentido. Voy a explicar por qué.

"Riemann" no es un adjetivo que se utiliza para clasificar las superficies. Es decir, no hay alguna clasificación de las superficies en "superficies de Riemann" y "no-superficies de Riemann".

En su lugar, una superficie de Riemann es una superficie junto con algo más de estructura. En particular, una superficie de Riemann es una superficie con una estructura compleja, que permite definir cosas como holomorphic funciones en la superficie.

Pidiendo una superficie que no es una superficie de Riemann se parece mucho pedir para un conjunto que no es un grupo. Un grupo no es un tipo especial de conjunto-es un conjunto que ha sido dotado con extra de la estructura, es decir, una operación binaria la satisfacción de ciertos axiomas. Algunos juegos pueden ser un grupo de varias maneras diferentes, posiblemente mediante diferentes operaciones binarias. También, algunos grupos (por ejemplo, el conjunto vacío) no puede ser, dada la estructura de un grupo. Por último, hay un montón de series que no tienen un "natural" o "obvio" que la estructura de grupo, pero se podría hacer en un grupo, si se define una adecuada operación binaria.

Típico de las superficies de Riemann incluyen:

• La esfera de Riemann
• Abrir los subconjuntos del plano complejo
• Cubre de abrir los subconjuntos del plano complejo o de otras superficies de Riemann
• Coeficientes del plano complejo por celosías
• Hiperbólico de las superficies, que puede ser descrito como cocientes de la unidad de disco por grupos de transformaciones de Möbius.
• Nonsingular superficies en $\mathbb{C}^n$ (o $\mathbb{CP}^n$) definido por las ecuaciones polinómicas (o más en general, las ecuaciones que involucran holomorphic funciones). Por ejemplo, todos los complejos de curva elíptica es una superficie de Riemann.

En cada caso, la forma en la que la superficie se construye da un aspecto natural de la estructura compleja. Otras maneras de hacer las superficies (por ejemplo, superficies de encontrar en $\mathbb{R}^n$) a menudo no vienen con una estructura compleja, de modo que no las superficies de Riemann a menos que las dota de una. Por otra parte, algunas superficies (tales como un toro) puede estar dotada de una estructura compleja en varios estados que no son formas equivalentes.

Finalmente, como Henry T. Horton señala, no orientable superficies no se puede dar una estructura compleja, ya que holomorphic mapas son siempre de la orientación de la preservación. Cada compacta orientable superficie puede ser dada una estructura compleja, aunque en algunos casos hay varias posibilidades que conducen a diferentes superficies de Riemann.