Sistema de dos Ecuaciones

Question

Un amigo Mío me dio un sistema de dos ecuaciones y me pidió que resolverlos $\rightarrow$

$$\sqrt{x}+y=11~~ ...1$$ $$\sqrt{y}+x=7~~ ...2$$

Traté de resolver de forma manual y me esta horriblemente complicado del cuarto grado de la ecuación de $\rightarrow$

$$\begin{align*} y &= (7-x)^2 ~...\mbox{(from 2)} \\ y &= 49 - 14 x + x^2 \\ \implies 11&= \sqrt{x}+ 49 - 14 x + x^2 ...(\mbox{from 1)}\\ \implies~~ 0&=x^4-28x^3+272x^2-1065x+1444 \end{align*}$$

La solución de este no era exactamente mi pedazo de torta, pero yo podría decir que una de las Soluciones habría sido de 9 y 4

Pero mi amigo no dejaba de preguntar por una solución oficial.

Traté de trazado de las ecuaciones y esto es lo que conseguí $\rightarrow$

De modo que las ecuaciones tienen dos pares de soluciones (los de verdad).

Tal vez, Sólo tal vez pienso que esto podría ser resuelto mediante aproximaciones.

Entonces, ¿Cómo puedo resolver con un método formal (Cálculo,Álgebra,Análisis Real...)

P. S. estoy En la secundaria.

Answer 1

Suponga $x$ $y$ son enteros. Observe que, en este caso, si $\sqrt x +y=11$, un entero, $\sqrt x $ debe ser un entero. Un argumento similar se puede hacer para $y$. Así que si son enteros, entonces ambos son cuadrados perfectos. Reformular en términos de la raíz cuadrada (todavía enteros) $X=\sqrt x,Y=\sqrt y$ $$X+Y^2=11$$ $$Y+X^2=7$$ restando la segunda ecuación de la primera: $$X-Y+Y^2-X^2=4$$ $$(X-Y)+(Y-X)(Y+X)=4$$ $$(Y-X)(X+Y-1)=4$$ Tanto de los soportes son enteros, por lo que los únicos valores que puede tomar son los factores de la $4$. Por lo que sea $$Y-X=2,X+Y-1=2$$ o $$Y-X=4,X+Y-1=1$$ o$$Y-X=1,X+Y-1=4$$ La resolución de cada uno de estos es simple. El único que da resultado positivo en valores enteros (las condiciones de nuestro pequeño aquí) es el$3^{rd}$, que le da la respuesta que encontró. Tenga en cuenta que no hay nada malo con la adivinación y jugando con el problema por primera vez, luego de llegar a una más estructurada argumento más tarde. Si desea una completa solución analítica podría utilizar la ecuación de cuarto grado en el que usted y descartar las otras soluciones como las que implican el mal ramas de $\sqrt x$, pero es innecesariamente complicado.

Answer 2

Una vez que usted adivinó las soluciones, se puede demostrar fácilmente que no hay otros. Reescribir las ecuaciones como $y=11-\sqrt x=F(x)$$x=7-\sqrt y=G(y)$. Tenga en cuenta que tanto $x,y\le 11$, por lo que sus raíces cuadradas son en la mayoría de las $4$, lo que significa que $x,y\ge 3$. Ahora se acaba de observar que $z\mapsto \sqrt z$ es una contracción en $[3,\infty)$ (la diferencia de los valores es menor que la diferencia de los argumentos). Por lo tanto, $F$ $G$ también son contracciones de dónde si tuviéramos dos soluciones diferentes a$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$, obtendríamos $$ |x_1-x_2|=|G(y_1)-G(y_2)|<|y_1-y_2|=|F(x_1)-F(x_2)|<|x_1-x_2| $$ lo cual es absurdo.