Dividiendo los Dos Objetos en la Mitad de Una Línea

Question

Imagine tener un pedazo de papel con dos formas diferentes, cada una en una ubicación aleatoria. Podemos dibujar una línea recta a través de la pieza de papel, de manera que divide ambos objetos en la mitad?

Tenga en cuenta que yo soy 8 ° grado, y más probablemente familiarizado con términos técnicos. Esto acaba de llegar a mi mente. Pero si es necesario el uso de términos técnicos, supongo que ese es mi problema y voy a tener que mirar hacia arriba.

Answer 1

Sí, este es el Sándwich de Jamón Teorema. Tomando $n=2$, la declaración dice que dados dos mensurables de los objetos en $2$-dimensiones del espacio (por ejemplo, dos "agradable" formas dibujadas en un pedazo de papel), es posible dividir a la mitad el uso de una sola línea.

Voy a esbozar una prueba de que el caso de $n=2$ por debajo.

Deje $A$ $B$ ser de las dos formas. Deje $\ell$ ser cualquier línea. Te voy a mostrar que podemos traducir $\ell$, en cierta manera, de modo que los recortes $A$ en la mitad. Deje $f(x)$ ser el área de $A$ a la derecha de $\ell$ al $\ell$ ha sido traducido $x$ unidades a la derecha. (Si $\ell$ es una línea horizontal, reemplazar "derecho" con "arriba/".) Si $A$ es un conjunto medible (casi cualquier forma que usted podría imaginar dibujo será medible), a continuación, $f(x)$ es una función continua de $x$. Es decir, el desplazamiento de la línea de $\ell$ por una cantidad muy pequeña resultará en un cambio muy pequeño en la cantidad de $A$ está a la derecha de $\ell$. Si usted se muda $\ell$ muy lejos a la izquierda (digamos, $N$ unidades), todos los de $A$ está a la derecha de $\ell$, lo $f(-N)=\text{area}(A)$. Si usted se muda $\ell$ muy lejos a la derecha (digamos, $M$ unidades), todos los de $A$ está a la izquierda de $\ell$, lo $f(M)=0$. Así que por el teorema del valor intermedio, existe algún valor de a $x$ $-N$ $M$ tal que $f(x)=\frac{1}{2}\cdot \text{area}(A)$. Es decir, $\ell$ traducido a la derecha $x$ unidades recortes $A$ en la mitad.

Ahora vamos a $\theta$ ser cierto ángulo entre el $0$ $180$ grados. Seleccione una línea que hace que el ángulo de $\theta$ con el positivo de la $x$-eje. Por el párrafo anterior, podemos traducir esta línea de alguna manera para que los recortes $A$ en la mitad. Deje $\ell_\theta$ se traduce esto. Es decir, $\ell_\theta$ hace que el ángulo de $\theta$ con la horizontal y recortes $A$ en dos partes de igual área. Deje $g(\theta)$ ser el área de $B$ a la derecha de $\ell_\theta$ menos el área de $B$ a la izquierda de $\ell_\theta$. (Al $\theta=0$, reemplazar "derecho" con "más abajo", "izquierda" con "los de arriba", y al $\theta=180$, reemplazar "derecho" con "arriba" y "de izquierda" con ".") Si $B$ es medible, entonces $g(\theta)$ es una función continua de $\theta$. Es decir, cambiando el ángulo de la línea ligeramente sólo se traducirá en un pequeño cambio en el $g(\theta)$. Tenga en cuenta que $\ell_0$ $\ell_{180}$ son de la misma línea (uno es girado $180$ grados), por lo que \begin{align*} g(0)&=\text{area of %#%#% below %#%#%}-\text{area of %#%#% above %#%#%}\\ &=-(\text{area of %#%#% above %#%#%}-\text{area of %#%#% below %#%#%})\\ &=-(\text{area of %#%#% above %#%#%}-\text{area of %#%#% below %#%#%})\\ &=-g(180). \end{align*} Usando el teorema del valor intermedio, de nuevo, no existe $B$ $\ell_0$ $B$ tal que $\ell_0$. Que es \begin{align*} \text{area of %#%#% right of %#%#%}-\text{area of %#%#% left of %#%#%}&=0\\ \text{area of %#%#% right of %#%#%}&=\text{area of %#%#% left of %#%#%} \end{align*} Por lo $B$ recortes $\ell_0$ en la mitad. Pero $B$ también fue elegido de manera que los recortes $\ell_0$ en la mitad. Por lo $B$ es la línea que queremos.

Prueba adaptada de Teorema III aquí: https://faculty.missouri.edu/~casazzap/pdf/enseñar/pizza.pdf