Lo que es equivalente al Axioma de Elección es la afirmación de que cada producto cartesiano de cualquier vacío de la familia de conjuntos no vacíos es, en sí misma no vacío (no simplemente que "una infinita producto Cartesiano de un no-vacío familia de conjuntos no vacíos").
Hay un montón de familias para las que se puede demostrar, sin necesidad de invocar el Axioma de Elección, que su producto cartesiano es no vacío. Por ejemplo, como nota, un producto de cualquier vacío de la familia de vacío bien ordenada de conjuntos es vacío, independientemente de la cardinalidad de la familia. (Sin embargo, demostrando que un denumerably infinito producto de denumerably conjuntos infinitos es no vacío, requiere al menos de algunos de Elección, usted puede pensar en esto como un debilitamiento del caso anterior, ya que aquí estamos diciendo que los juegos sean bien el fin de poder pero no necesariamente bien el fin de ed. Es decir, en lugar de venir ya cuentan con un buen orden, estamos a sólo dijo que un pedido existe).
En general, cualquier familia en la que todos los conjuntos son los mismos también ha vacío producto: si $\{A_i\}_{i\in I}$ es un vacío de la familia, y $A_i=A_j\neq\emptyset$ todos los $i,j\in I$, entonces a partir de la $A_i$ es no vacío, no existe $a\in A_i$. A continuación, la función de $f\colon I\to\cup A_i$ $f(i) = a$ todos los $i\in I$ es una función de elección para la familia (y un elemento de $\times_{i\in I} A_i$). En particular, tanto los conjuntos de $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ son no vacías, y podemos demostrarlo sin invocar elección. Sólo el $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f(r)=0$ todos los $r$; este es un elemento de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$; y $g(n)=0$ todos los $n\in\mathbb{N}$, este es un elemento de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. Ni uno requiere de CA.
Asimismo, cualquier familia $\{A_i\}_{i\in I}$ en el que hay una cofinite $J\subseteq I$ $\cap_{j\in J}A_j\neq\emptyset$ tendrá una función de elección, cuya existencia no depende de la CA: tome $J$ con la propiedad dada, tome cualquiera de las $x\in \cap_{j\in J}A_j$, y dejando $I-J = \{i_1,\ldots,i_k\}$, pick $a_t\in A_{i_t}$, $t=1,\ldots,k$. A continuación, $f\colon J\to\cup A_i$ dada por
$$f(i) = \left\{\begin{array}{ll}
x & \mbox{if %#%#%;}\\
a_1 &\mbox{if %#%#%;}\\
\vdots\\
a_k &\mbox{if %#%#%.}
\end{array}\right.$$
es una función de elección para la familia, cuya existencia puede ser establecida sin invocar el Axioma de Elección. Este es, por supuesto, no es necesario, simplemente suficiente.
