Verdadero o falso: Cada sistema lineal homogéneo real de ecuación que tiene más de una solución tiene infinitas soluciones

Question

Esta es una tarea de un examen de prueba que puede encontrar aquí (en alemán): http://docdro.id/QRtdXkM

¿La siguiente declaración es verdadera o falsa?

Cada sistema lineal homogéneo real de ecuación que tiene más de una solución, tiene infinitas soluciones.

Creo que la afirmación es cierta porque un sistema lineal de ecuaciones sólo puede tener una solución, ninguna solución o soluciones infinitas. Esta afirmación dice claramente "más de una solución $ \rightarrow $ soluciones infinitas", lo cual es cierto.

¿Es realmente correcto así o hay algún caso especial que puede hacer que esta declaración sea falsa?

Answer 1

De hecho, esto es cierto incluso para los sistemas lineales no homogéneos. Consideremos el sistema $Ax=b$ y asumir $x_0$ y $x_1$ son soluciones. Entonces, para cualquier $x_\lambda = (1-\lambda)x_0+\lambda x_1$ se obtiene $$Ax_\lambda = A((1-\lambda)x_0 + \lambda x_1) = (1-\lambda)A x_0 + \lambda A x_1 = (1-\lambda) b + \lambda b = b$$ Por lo tanto, $x_\lambda$ es también una solución, por lo que se obtienen infinitas (incluso incontables) soluciones.

El sistema homogéneo es sólo el caso especial de $b=0$ . Desde $x=0$ es siempre una solución de un sistema lineal homogéneo, para los que incluso se puede escribir la condición como

Si cualquier sistema lineal homogéneo real de ecuaciones tiene una solución distinta de cero, tiene infinitas.

Answer 2

Pista: si el sistema homogéneo tiene dos soluciones distintas, entonces una de ellas, llámese $v$ es distinto de cero. ¿Qué se puede decir de $\alpha v$ para un escalar $\alpha$ ?

Answer 3

Sí, esto es cierto. La forma en que esto se ve mejor es observando que si un sistema de ecuaciones homogéneo tiene más de una solución, entonces la matriz correspondiente al sistema de ecuaciones, $A$ tiene un núcleo no trivial.

Esto significa que $\exists \vec{v},\vec{u} \in \ker(A): A\vec{v} = 0$ y $A\vec{u} = 0$ . Ahora vale la pena señalar que podemos tomar cualquier combinación lineal de estos vectores $\lambda \vec{v} + \mu \vec{u}$ para $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ y tenemos $A(\lambda \vec{v} + \mu \vec{u}) = \lambda A\vec{v} + \mu A\vec{u} = 0$ Así que $\lambda \vec{v} + \mu \vec{u}$ también resuelve este sistema de ecuaciones.

Por lo tanto, tenemos un número infinito de soluciones si tenemos más de una solución única.

Answer 4

Cada combinación lineal sobre $\mathbb{R}$ de dos soluciones de un sistema lineal homogéneo será solución del sistema lineal homogéneo. Una de las soluciones no es necesariamente el vector cero y entonces tiene infinitas combinaciones no triviales que son soluciones. Si lo escribes como una matriz $A \in _{\mathbb{R}_{n \times m}}$ representa el sistema de ecuaciones lineales homogéneas, y para los vectores $a,b \in \mathbb{R}^{m}$ tal que $Aa=0,Ab=0$ .

De ahí se obtiene que por cada $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ existe:

$A(\alpha a+\beta b)=\alpha Aa+\beta Ab=0$ .