¿Tiene el teorema de punto fijo de Brouwer para el toro menos un disco abierto?

Question

Sea $S:=T^2\setminus{\rm int}(D^2)$ Toro menos un disco abierto. ¿Cada función continua $f:S\to S$ tiene que tener un punto fijo?

Esta es esencialmente la conclusión del teorema del punto fijo de Brouwer. Sin embargo, este teorema solo se aplica a espacios homeomorfa a $D^n$, y así no puedo aplicarlo directamente a esta pregunta. Por otro lado, no puedo ir con un contraejemplo o bien.

Answer 1

Vamos a expresar $T^2$ dejando $H \subset \mathbb{R}^2$ ser un hexágono regular centrado en el origen y, a continuación, el encolado de los lados opuestos de $H$ por las traducciones.

Deje $q : H \to T^2$ ser el cociente mapa de este encolado.

Deje $D^2 \subset \mathbb{R}^2$ ser una pequeña ronda de abrir el disco centrado en el origen y el contenido en el interior de $H$, y así podemos considerar a $D^2$ como incrustado en $T^2$ por el mapa $q$. Luego, como dices, nos quite el interior de $D^2$ para obtener la superficie de $S$.

Ahora vamos a $R : H \to H$ ser una rotación de ángulo de $2 \pi / 6$. El mapa de $R$ induce un homeomorphism $S \mapsto S$ no tener puntos fijos.

Answer 2

Vamos a sentar su toro $T^2$ en $\Bbb{C} \times \Bbb{C}$ como el subconjunto $S^1 \times S^1$, donde $S^1 = \{ z \mid |z|= 1\}$ y vamos a la disco $D^2$ por lo que no cumple con el % de círculo $\{(z, 1) \mid z \in S^1\}$. Entonces la función $(z, w) \mapsto (iz,1)$ no tiene ningún punto fijo en cualquier subconjunto de $T^2$.