Estoy tratando de tener una idea sobre lo que es la representación, y un profesor me dio un ejemplo simple de representar al grupo en el $Z_{12}$ como el de los doce raíces de la unidad, o el correspondiente $2\times 2$ matrices. Ahora me pregunto cómo $\operatorname{GL}(1,\mathbb{C})$ $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$ están relacionados, ya que los elementos de ambos grupos son automorfismos de los números complejos. $\operatorname{GL}(\mathbb{C})$, el grupo de automorfismos de C, es (a mi entender) isomorfo a ambos $\operatorname{GL}(1,\mathbb{C})$ $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$ ya que los números complejos son una de las dos dimensiones de espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Pero no parece que estos dos grupos son isomorfos a cada uno de los otros.
Respuestas
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No, no son isomorfos. $GL(1,\mathbb{C})$ inyecta en $GL(2, \mathbb{R})$, pero el último consiste en el conjunto de real automorfismos de a $\mathbb{R}^2$, mientras que el primero consiste en el conjunto de todos los complejos de automorfismos de a $\mathbb{C}$. Por ejemplo, un elemento de $GL(1, \mathbb{C})$ está compuesto de una escala (dilatación) por un número real positivo y una rotación, por lo que es $\mathbb{R}_{>0} \times SO(2) = \mathbb{R}_{>0} \times S^1$. Sin embargo, $GL(2, \mathbb{R})$ incluye cosas más complicadas (por ejemplo, reflexiones, cosas que incluso si el escalado no se conviertan en transformaciones ortogonales).
$GL(1,\mathbb{C})$ puede ser considerado como el grupo de automorfismos de a $\mathbb{C}$ como un complejo espacio vectorial. Cada uno de esos automorphism está dada por la multiplicación por un número complejo distinto de cero. Por otro lado, $GL(2,\mathbb{R})$ puede ser considerado como el grupo de automorfismos de a $\mathbb{C}$ como un verdadero espacio vectorial, y por lo tanto es más grande. En términos de matrices, $GL(1,\mathbb{C})$ corresponde a todos los $2$a$2$ real de las matrices de la forma $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ with $a^2+b^2\gt0$, which is a proper subgroup of the group $GL(2,\mathbb{R})$ of all $2$-by-$2$ real invertible matrices.
Me gustaría complementar las respuestas de arriba con dos ejemplos importantes. Considere la posibilidad de un hiperbólico de transformación de $H(x, y) = (2x, y/2)$ y una cizalla $S(x,y) = (x+y, y)$, dos elementos de la $GL(2,R)$. Si usted dibuja cómo estos actúan en puntos de $R^2$ usted verá que estas distorsionar los ángulos. Por otro lado, los elementos de $GL(1,C)$ siempre conservar los ángulos (y por lo tanto para hacer holomorphic mapas, lejos de puntos críticos).
Es decir, el extra algebraicas estructura conservada por $GL(1,C)$ se traduce en el mantenimiento de la propiedad de la preservación de los ángulos y la "imparcialidad".
