¿Por qué hacemos una distinción entre derivados y derivados parciales?

Question

La definición de una derivada parcial es "derivado de una función multivariable en relación a una sola variable cuando todas las otras variables se mantienen constantes".

¿Pero no es el derivado regular (para funciones de una variable) sólo un caso trivial, donde no hay otras variables para mantener constante? ¿Por qué necesitamos la notación independiente para derivadas parciales (es decir, escribir $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ en lugar de a $\displaystyle \frac{df}{dx}$)?

Answer 1

Porque existe una noción de "total derivados", que es el multivariante análogo de la 1-D derivado de que estás familiarizado. El total de la derivada de una función $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es conocido como el Jacobiano de f. Es posible que haya trabajado con este mientras se hace el cambio de variables para integrales múltiples. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant. Cuando decimos $f$ es diferenciable en un punto de $a$, podemos decir que su Jacobiano existe en $a$. Hay un teorema que dice que si todas las derivadas parciales de $f$ existen y son continuas en a $a$ $f$ es diferenciable en a $a$, pero el recíproco no es cierto. A ver Puede ser "diferenciable" implica "tener continua en derivadas parciales"?.

Por otra parte, el total de derivados define lineal en el mapa y se utiliza como una aproximación lineal de $f$, a través del Teorema de Taylor (http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#Taylor_series_in_several_variables), así como en el teorema de la función implícita (http://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_function_theorem), entre otros.

Ahora, la idea de la total derivado de la $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ puede extenderse a funciones de $f: \Omega \subset V \to W$ donde $V$ $W$ normativa espacios vectoriales y $\Omega$ está abierto (probablemente más, pero no he llegado ahí todavía).

Definición: decimos que $f: \Omega \subset V \to W$ es diferenciable en a $\in \Omega$ si existe una limitada lineal operador $L_f[h]$ tal forma que:

$f(a+h) = f(a) + L_f[h] + E[h]$

donde $lim_{h \to 0} \frac{|E[h]|_W}{|h|_V} \to 0$, es decir, el término de error se desvanece como h se aproxima a cero (pensar acerca de la definición de la derivada en $\mathbb{R}$)

Un aparte: delimitada operador lineal significa que a $|L_f(x) - L_f(y)|_W \leq C|x - y|_V$ $x, y \in \Omega$ y una constante de $C$.

Answer 2

El derivado total/diferencial de Frechet (véase la respuesta perdida) es la generalización buena por varias razones. Dos más grandes:

(1) existencia de derivadas parciales no implica continuidad;

(2) la falta de la regla de la cadena para derivadas parciales.