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4 votos

Demostrar que f(x)=x si lo siguiente ocurre

Que f:RR ser una función impar continua tal que

1) f(1+x)=1+f(x)

2) x2f(1/x)=f(x) x0.

Demostrar que f(x)=x.

9voto

Gepard Puntos 120

Si lo hacemos de una manera más "ecuación funcional"-enfoque de ish, notamos que % (x+1x)2f(xx+1)=f(x+1x)por otra parte, \begin{align}f\left(\frac{x}{x+1}\right) &= f\left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)\\
&= 1 + \left(-\frac{1}{x+1}\right)\\
&= 1 - \left(\frac{1}{x+1}\right)\\
&= 1 - \frac{f(x+1)}{(x+1)^2}
\end{alinee el} detrás de Substituting
: #% (x+1x)2(1f(x+1)(x+1)2)=f(x+1x)-# - {Alinee el} dividiendo en $\frac{1}{x^2}$ (válido desde $x \neq 0$): \begin{align}\frac{1}{x^2}\left((x+1)^2 - f(x+1)\right) &= f\left(1 + \frac{1}{x}\right)\\ &= 1 + f\left(\frac{1}{x}\right) \\ &= 1 + \frac{f(x)}{x^2}\end {Alinee el} 2x = 2f(x) , que demuestra la declaración deseada: $$f(x) = x este es un enfoque de más largo aliento y estoy bastante seguro se puede simplificar un poco.

1voto

Dave Griffiths Puntos 688

Sugerencia: (i) como x es extraño, ¿qué puede decir de f(0) = -f(-0)?

(ii) uso 1), calcular f en los enteros (uso de inducción).

(iii) usando 2) cálculo f para los números de la forma \frac 1n, n \in \mathbb N - \{0\}.

(iv) uso 1) otra vez, esto da f de números racionales.

(v) ahora utilice continuidad para concluir.

0voto

Arash Puntos 6587

Esto es una especie de anexo a una Pista en las respuestas.


La función es impar y por lo tanto es cero en el cero: f(0)=0. Por lo tanto, a partir de dos igualdades en la pregunta, respectivamente obtener f(n)=n f(\frac 1n)=\frac 1n para todos los enteros n.

Incluso para los números, tenemos f(\frac n2)=\frac n2f(\frac 2n)=\frac 2n. Para los números impares, tenemos lo siguiente: f(\frac n2)=f(\frac{n-1}2+\frac{1}2)=\frac{n-1}2+\frac{1}2=\frac n2 Por lo tanto, para todos los n, f(\frac n2)=\frac n2 y, por tanto,f(\frac 2n)=\frac 2n. Hasta el momento podemos decir que para todos los 0 \leq r\leq 2, tenemos: f(\frac nr)=\frac nr \\ f(\frac rn)=\frac rn Ahora podemos utilizar la inducción para demostrar que las anteriores igualdades para todos los enteros positivos r. Supongamos que para todos los 0\leq r\leq m-1 tenemos: f(\frac nr)=\frac nr \\ f(\frac rn)=\frac rn Queremos demostrar que : f(\frac nm)=\frac nm \\ f(\frac mn)=\frac mn. Hay dos números de q 0 \leq r<m de manera tal que, podemos escribir el número entero nqm+r. Entonces podemos escribir la siguiente: f(\frac nm)=f(\frac{qm}m+\frac{r}m)=q+f(\frac{r}m)=\frac nm . donde la última igualdad proviene de la suposición de inducción, es decir, que para 0\leq r\leq m-1 y todos los n tenemos f(\frac{r}m)=\frac rm. Esto termina la inducción de la prueba y dice que para todos los enteros mn: f(\frac nm)=\frac nm \\ f(\frac mn)=\frac mn.

La función es la función identidad sobre todo racional x. Para el número irracional x, consideramos que una secuencia de números racionales r_n convergentes a x y, a continuación, utilizar la continuidad argumento para demostrar f(x)=x.

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