Demostrar que $f(x)=x$ si lo siguiente ocurre

Question

Que $f\colon\mathbb R \to \mathbb R$ ser una función impar continua tal que

1) $f(1+x)=1+f(x)$

2) $x^2f(1/x)=f(x)$ $x\ne0$.

Demostrar que $f(x)=x$.

Answer 1

Si lo hacemos de una manera más "ecuación funcional"-enfoque de ish, notamos que % $\left(\frac{x+1}{x}\right)^2f\left(\frac{x}{x+1}\right) = f\left(\frac{x+1}{x}\right)$por otra parte, $$\begin{align}f\left(\frac{x}{x+1}\right) &= f\left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)\\ &= 1 + \left(-\frac{1}{x+1}\right)\\ &= 1 - \left(\frac{1}{x+1}\right)\\ &= 1 - \frac{f(x+1)}{(x+1)^2} \end{alinee el} detrás de Substituting$$ : #% $-$$\left(\frac{x+1}{x}\right)^2\left(1 - \frac{f(x+1)}{(x+1)^2}\right) = f\left(\frac{x+1}{x}\right)$-# - {Alinee el} dividiendo $$en $\frac{1}{x^2}$ (válido desde $x \neq 0$):$$ \begin{align}\frac{1}{x^2}\left((x+1)^2 - f(x+1)\right) &= f\left(1 + \frac{1}{x}\right)\\ &= 1 + f\left(\frac{1}{x}\right) \\ &= 1 + \frac{f(x)}{x^2}\end {Alinee el} 2x = 2f(x), que demuestra la declaración deseada: $$f(x) = x este es un enfoque de más largo aliento y estoy bastante seguro se puede simplificar un poco.

Answer 2

Sugerencia: (i) como $x$ es extraño, ¿qué puede decir de $f(0) = -f(-0)$?

(ii) uso 1), calcular $f$ en los enteros (uso de inducción).

(iii) usando 2) cálculo $f$ para los números de la forma $\frac 1n$, $n \in \mathbb N - \{0\}$.

(iv) uso 1) otra vez, esto da $f$ de números racionales.

(v) ahora utilice continuidad para concluir.

Answer 3

Esto es una especie de anexo a una Pista en las respuestas.

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La función es impar y por lo tanto es cero en el cero: $f(0)=0$. Por lo tanto, a partir de dos igualdades en la pregunta, respectivamente obtener $f(n)=n$ $f(\frac 1n)=\frac 1n$ para todos los enteros $n$.

Incluso para los números, tenemos $f(\frac n2)=\frac n2$$f(\frac 2n)=\frac 2n$. Para los números impares, tenemos lo siguiente: $$f(\frac n2)=f(\frac{n-1}2+\frac{1}2)=\frac{n-1}2+\frac{1}2=\frac n2$$ Por lo tanto, para todos los $n$, $f(\frac n2)=\frac n2$ y, por tanto,$f(\frac 2n)=\frac 2n$. Hasta el momento podemos decir que para todos los $0 \leq r\leq 2$, tenemos: $$f(\frac nr)=\frac nr \\ f(\frac rn)=\frac rn$$ Ahora podemos utilizar la inducción para demostrar que las anteriores igualdades para todos los enteros positivos $r$. Supongamos que para todos los $0\leq r\leq m-1$ tenemos: $$f(\frac nr)=\frac nr \\ f(\frac rn)=\frac rn$$ Queremos demostrar que : $$f(\frac nm)=\frac nm \\ f(\frac mn)=\frac mn.$$ Hay dos números de $q$ $0 \leq r<m$ de manera tal que, podemos escribir el número entero $n$$qm+r$. Entonces podemos escribir la siguiente: $$f(\frac nm)=f(\frac{qm}m+\frac{r}m)=q+f(\frac{r}m)=\frac nm$$ . donde la última igualdad proviene de la suposición de inducción, es decir, que para $0\leq r\leq m-1$ y todos los $n$ tenemos $f(\frac{r}m)=\frac rm$. Esto termina la inducción de la prueba y dice que para todos los enteros $m$$n$: $$f(\frac nm)=\frac nm \\ f(\frac mn)=\frac mn.$$

La función es la función identidad sobre todo racional $x$. Para el número irracional $x$, consideramos que una secuencia de números racionales $r_n$ convergentes a $x$ y, a continuación, utilizar la continuidad argumento para demostrar $f(x)=x$.