$ g(n)= \sum_{d|n}\frac{\phi(d)}d=?$

Question

Cómo encontrar:$$f(n)=\sum_{d|n} d \phi(d)=? $ $,

ps

Answer 1

$f(n)$ Es una función multiplicativa (es decir,$f(uv) = f(u) f(v)$ para$\gcd(u,v) = 1$), por lo que es suficiente calcularla para las potencias de un%% primario% #%. Tenemos $$ \begin{align} f(p^{m}) &= \sum_{k=0}^{m} p^{k} \varphi(p^{k}) \\&= 1 + \sum_{k=1}^{m} p^{k} (p-1) p^{k-1} \\&= 1 + (p-1) p \sum_{k=1}^{m} p^{2k-2} \\&= 1 + p \frac{p^{2m} - 1}{p+1}. \end {align} $$

$p$ También es multiplicativo, y aquí un cálculo más simple produce $$ g (p ^ {m}) = 1 m \ frac {p-1} {p}. $$