¿Cómo puedo mostrar que una matriz es inyectiva?

Question

Necesito determinar si esta matriz es inyectiva \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4\\ 0 & 3 & 0\\ 1 & 7 & 2 \end{pmatrix>

Usando la eliminación gaussiana, esto es lo que he hecho: \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 &|& 0\\ 0 & 3 & 0 &|& 0\\ 1 & 7 & 2 &|& 0 \end{pmatrix>

Divida la fila 1 por 2 y luego reste la fila 3 por los valores de la fila 1: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 &|& 0\\ 0 & 3 & 0 &|& 0\\ 0 & 7 & 0 &|& 0 \end{pmatrix>

Divida la fila 2 por 3, divida la fila 3 por 7 y reste la fila 3 por la fila 2: \begin{pmatrix> 1 & 0 & 2 &|& 0\\ 0 & 1 & 0 &|& 0\\ 0 & 0 & 0 &|& 0

¿Estoy haciendo esto correctamente? ¿Cómo puedo mostrar que la matriz es (no) inyectiva? Estaba pensando en la línea de "$x + z \not= 0$."

Answer 1

La definición formal de inyectiva es que una función es inyectiva si $f(x) = f(y)\implies x=y$. Tal vez al principio no sea muy intuitivo que para las funciones lineales es lo mismo que la trivialidad del espacio nulo. Pero de hecho lo es, ya que $f(0 \cdot x) = 0 \cdot f(x) = 0$ sabemos que una función lineal que es inyectiva siempre tiene un espacio nulo trivial.
Para demostrar que una función lineal es inyectiva si su espacio nulo es trivial tomamos cualquier $x, y$ con $f(x) = f(y)$. Esto es equivalente a $f(x) - f(y) = 0$ como $f$ es inyectiva es igual a $f(x-y) = 0$. Pero como el espacio nulo es trivial, entonces $x=y$ lo que implica que la función es inyectiva.

En general, una función lineal es inyectiva si sus columnas son linealmente independientes. Como la primera y la tercera no son linealmente independientes, tu matriz no es inyectiva. Esto se debe a que las columnas de tu matriz son las imágenes de los vectores unitarios. Si no son linealmente independientes, el espacio nulo no puede ser trivial.

Para formularlo con rangos, una matriz es inyectiva si el rango es igual al número de columnas que tiene.

Para una matriz cuadrada se puede tomar el determinante, ya que aquí inyectiva, sobreyectiva y biyectiva son equivalentes.

Answer 2

Calcula el rango de tu matriz; dado que la última fila son todos ceros, tiene un rango de 2.

rank + nullity $ = 3 \implies$ nullity $= 1.

Por lo tanto, tu matriz no puede ser inyectiva.

Answer 3

Observa los vectores de la forma $\left(\begin{array}{c}2x\\ 0\\ -x\end{array}\right)$. ¿Qué hace tu matriz con estos vectores? ¿Qué significa inyectiva?