Que es vector$(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} + (\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}$

Question

Supongamos que tenemos tres no ortogonal de vectores en $R^3$$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$. El vector de $(\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}$ es en el plano generado por $\vec{a}$$\vec{b}$, y es perpendicular a $\vec{c}$. Hay una similar explicación geométrica del vector $$(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} + (\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}$$?

EDIT: Respuesta por Muphrid indica que este es un vector normal (con dilatación) de tres consecutivos reflexiones vector normal $a, b, c$. Este puede ser llevado a cabo sin el uso geométrica de productos? A partir de una reflexión como $x' = x - 2(x \cdot n)n$, esto se vuelve complicado para mí.

Answer 1

Recordar que cualquier mapa de reflexión $\underline N$ a través de un plano perpendicular a un vector unitario $n$ puede ser escrito como

$$\underline N(a) = -nan$$

Interpretar el producto $abc$ entonces como una composición de reflexiones: el vector de la parte que has encontrado es el vector normal a la red del plano de reflexión que presente los resultados de la composición.

Edit: en realidad, vamos a $v$ ser que el vector e $T$ ser el trivector parte. Componer las reflexiones da

$$-(v+T)x(v-T) = -vxv - Txv + vxT + TxT$$

El primer término es un reflejo de la dilatación. El segundo y tercer factor a $T(vx-xv) = 2T (v \wedge x) = 2(Tv) \cdot x$, dando un vector en el plano de la $Tv$ ortogonal a $x$. El último término es$T^2 x$,$T^2 \leq 0$.

Por lo tanto, hay una neta del plano de reflexión, pero no de forma exclusiva caracterizar la composición de reflexiones, ya que hay algunos otros términos involucrados.