¿Por qué una elipse, hipérbola y círculo no son una función?

Question

Soy consciente de la prueba de la línea vertical. Si colocas una línea vertical sobre una forma, y si cruza más de una vez, falla la prueba de la línea vertical y ya no es una función.

¡Pero no entiendo por qué? Para mí una función es simplemente un valor de entrada y salida:

$$f(x)=x^2$$

Ingresas un valor de entrada y obtienes un valor de salida. Arriba hay una parábola, ya que es una función cuadrática básica.

Pero puedes hacer lo mismo con hipérbolas:

$$f(x,y)={{x^2}\over9}–{{y^2}\over4}$$

Y puedes hacer lo mismo con elipses, que son esencialmente la inversa de una hipérbola:

$$f(x,y)={{x^2}\over9}+{{y^2}\over4}$$

Para mí, esas dos son funciones, al igual que la cuadrática original. Es cierto, las últimas dos fallan la prueba de la línea vertical, ¡pero qué importa! Le das un valor de entrada y obtienes un valor de salida. ¿Por qué no son funciones?

Answer 1

La función $f(x)=x^2$ no es una parábola. Es simplemente una función.

Si escribes $y=x^2,$ entonces el conjunto de puntos en el plano $x,y$ que satisfacen esa ecuación es una parábola.

La prueba de la "línea vertical" en un plano cartesiano te dice precisamente si una figura en el plano es el gráfico de una función exactamente variable, trazada usando el eje horizontal (generalmente $x$) para trazar la entrada de la función y el eje vertical (generalmente $y) para trazar la salida de la función.

Cuando escribes $f(x,y)=\frac{x^2}9 - \frac{y^2}4,$ entonces ciertamente $f(x,y)$ es una función, pero es una función de dos variables, y no estás trazando su salida usando el eje vertical. De hecho, esa ecuación ni siquiera define algún tipo de curva en el plano $x,y$, porque no has puesto ninguna restricción en lo que $x$ o $y podrían ser. Cualquier valor de $x$ y $y$ es una entrada válida para esta $f(x,y)$ y hará que la ecuación sea verdadera, ya que has definido la función de esa manera.

Si escribes $$\frac{x^2}9 - \frac{y^2}4 = 0,$$ entonces has escrito una ecuación describiendo una curva en el plano $x,y$. Esa curva todavía no es el gráfico de una función de $x$ cuyo valor de salida es $y,$ y la prueba de la línea vertical confirma que no lo es.

Edición: He sustituido un nuevo vocabulario en un par de lugares que espero sea un poco más preciso que mi uso anterior de las palabras "válida" y "relevante." Además, he intentado hacer más claro que los comentarios anteriores se aplican solo a figuras en un plano. Puedes definir una figura en el espacio cartesiano tridimensional por los puntos que satisfacen $z=f(x,y)$ para alguna función $f$ de dos variables, y esta figura pasará una prueba de "línea vertical" donde las líneas "verticales" son paralelas al eje $z$. Agradezco a los comentaristas que señalaron estas debilidades en el texto de respuesta original.

Answer 2

Realmente me encanta esta pregunta porque obviamente eres un estudiante inteligente, pero tienes una idea equivocada que veo en mis estudiantes de cálculo multivariable todo el tiempo. Tienes la idea correcta de función: "sólo valores de entrada y salida" (¡no ¡variables!) Está bien, la definición es más precisa, pero el resto de tu pregunta muestra que sabes qué es una función.

Lo que veo que haces es identificar funciones con curvas, especialmente curvas que son gráficos de funciones. Tu pregunta misma -"¿Por qué una elipse no es una función?" lo muestra. Cuando se lee precisamente, la forma obvia de responder esta pregunta es, "Porque una elipse es un tipo de curva, y una función es [usando tus palabras] solo valores de entrada y salida."

Hasta que se introducen funciones de más de una variable, prácticamente tratamos a una función (de una variable) como idéntica a su gráfico. Nuestras ideas intuitivas sobre límites, continuidad, derivadas, todo, se basan en nociones geométricas sobre el gráfico de una función. Y poder graficar funciones rápidamente requiere un tipo de índice mental de qué tipos de funciones tienen qué tipos de curvas como sus gráficos.

El problema con las funciones de dos variables $f(x,y)$ es que hay más de una forma de representar la función. El gráfico $\left\{(x,y,z) \mid z = f(x,y)\right\}$ es una forma de hacerlo. Pero es una superficie en el espacio. Esa superficie sí pasa la prueba de la línea vertical, porque en este caso vertical significa paralelo al eje $z$. Por ejemplo, si $f(x,y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}$, el gráfico es un paraboloide.

Otra forma de representar una función de dos variables es mediante su gráfico de contorno. Un gráfico de contorno dibuja en el mismo plano varias curvas de nivel de la forma $f(x,y) = c$, para diferentes valores de $c$. Por ejemplo, si $f(x,y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}$, las curvas de nivel tienen la ecuación $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}=c$, y por lo tanto son elipses.

La prueba de la línea vertical no tiene ningún significado aquí, porque no estamos mirando el gráfico de una función, estamos mirando su dominio. La propiedad geométrica que caracteriza "función" en un gráfico de contorno es que las curvas de nivel para dos valores diferentes no se intersecan. Porque si las curvas de nivel para $1$ y $2$ se intersecaran en $(a,b)$, entonces $f(a,b)=1$ y $f(a,b)=2$, lo cual no tiene sentido.

Como dijo DavidK en su comentario: "Si las cosas comienzan a complicarse, a veces podemos aclarar la confusión siendo muy explícitos acerca de lo que exactamente queremos decir". Una función no es lo mismo que su gráfico, ni es lo mismo que sus curvas de nivel.

Creo que es aún peor para mis pobres estudiantes de Cálculo III, quienes tienen que integrar funciones de tres variables sobre sólidos tridimensionales. ¡Allí es imposible pensar en gráficos, porque el gráfico de una función de tres variables está en un hiperespacio de cuatro dimensiones! En cambio, es mejor pensar en una función como midiendo la "densidad" de un punto en el sólido.

Answer 3

Es la definición de una función lo que es importante. Es el hecho de que una función sea uno a uno. Lo que significa que cuando introduces un valor de $x$, solo obtienes un valor de $y$.

Hice una búsqueda en Google de imágenes y afortunadamente encontré un enlace con el latex hecho para ello, pero los puse debajo. ¡Espero que la visual te ayude!

Los lados izquierdos de la imagen son los valores de $x$ y los lados derechos de las imágenes son los valores de $y$

Answer 4

La llamada "prueba de la línea vertical" simplemente determina si un valor dado de $x$ determina como máximo un valor de $y$. Si lo hace, entonces la relación se puede escribir como $y = f(x)$. Si no lo hace, entonces la relación no se puede escribir de esta manera.

Answer 5

Puedes considerar la función $f\left({x,y}\right)$ como una función de dos variables. Entonces, cada par de números (el argumento) que introduces produce exactamente una salida (la imagen). Sin embargo, esto no sería una elipse, sino una criatura tridimensional. Podrías llamarla un elipsoide, hiperboloide o esfera.

edit: Estaba equivocado, todos son paraboloides.