Secuencia aritmética en un conjunto mensurable de Lebesgue

Question

Permita que$A\subseteq[a,b]$ sea Lebesgue medible, tal que:$m(A)>\frac{2n-1}{2n}(b-a)$. Necesito mostrar que$A$ contiene una secuencia aritmética con n números ($a_1,a_1+d,...,a_1+(n-1)*d$ para algunos d).

Pensé en dividir [a, b] en partes iguales, y demostrar que si pongo una parte encima de la otra, debe haber al menos un punto de rotación, que ocurrirá en cada parte. Pero no he logrado demostrarlo.

Gracias.

Answer 1

Pista: Usted está en el camino correcto. ¿Ha notado que la longitud de cada uno de sus subintervalos es$\frac{b-a}{n}$, mientras que la longitud total de todas las piezas faltantes es sólo$\frac{b-a}{2n}$?

Answer 2

** Hechos 1.** Deje $p$ ser lineal normalizado de Lebesgue medida de un círculo de $C$ centrada en el origen del plano de $R^2$. Supongamos que $p(A)> (n-1)/n$. Entonces no existe $n$ $A$ que son los vértices de un regular $n$de lados del polígono.

Prueba. Consideremos una rotación definida por $f(x,y)=e^{\frac{2\pi i}{n}}(x+iy)$. Let consider sets $f^{0}(A),f^{1}(A), \cdots, f^{n-1}(A)$. From rotation invariance of $p$ obtenemos $p(f^{0}(A))=p(f^{1}(A))= \cdots= p(f^{n-1}(A))>(n-1)/n$ e $p(C \setminus f^{0}(A))=p(C \setminus f^{1}(A))= \cdots= p(C \setminus f^{n-1}(A))<1/n$. We claim that $p(f^{0}(A) \cap f^{1}(A) \cap \cdots \cap f^{n-1}(A))>0$. Asumir lo contrario. Entonces por nuestro asunción y De'Morgan regla que tenemos que conseguir $$ 1=p(C \setminus \carpeta cap_{k=0}^{n-1}f^{k}(A))=p(\cup_{k=0}^{n-1} (C \setminus f^{k}(A)))\le \sum_{k=0}^{n-1}p(C \setminus f^{k}(A))<n \1/n=1,$$, que es una contradicción.

Por lo tanto, no es $x \in \cap_{k=0}^{n-1}f^{k}(A)$, lo que es equivalente, $x \f^{0}(A),x \in f^{1}(A), \cdots, x \in f^{n-1}(A)$. El último las relaciones implican que $x \in A, f^{-1}(x) \a, \cdots, f^{(n-1)}(x) \en$. Notice that the points $M_0=x, M_1=f^{-1}(x), \cdots, M_{n-1}=f^{(n-1)}(x)$ son los vértices de un regular $n$de lados del polígono.

Hecho 2. Deje $B$ ser un subconjunto del eje real cuya lineal de la medida de Lebesgue es positivo. Luego de un arbitrario $n >1$ there are $n$ points in $B$, que constituyen una progresión aritmética.

Prueba. Por el teorema de Lebesgue sobre la densidad de puntos, no es un densidad de punto de $x_0 \in B$. Deje $\epsilon$ ser tan positiva número que $\frac{m([x_0 -\epsilon,x_0+\epsilon[ \cap B)}{2\epsilon }>(n-1)/n$, where $m$ denota la norma lineal de la medida de Lebesgue en el eje real $\mathbb{R}$. Vamos considere la posibilidad de un círculo de $C$ de la longitud de la $2 \epsilon$ y centrada en el origen de avión real. Deje $p$ ser lineal normalizado de Lebesgue medida en $C$. Vamos de carrete el set $[x_0 -\epsilon,x_0+\epsilon[$ en el círculo de $C$ por la transformación de $\phi$ tal que $\phi(x_0 -\epsilon)=(0, \frac{2\epsilon}{2\pi})$ y $\phi(x_0 -\frac{\epsilon}{2})=(- \frac{2\epsilon}{2\pi},0)$. Obviamente, $$p(\phi(B \cap [x_0 -\epsilon,x_0+\epsilon[))=\frac{m([x_0 -\epsilon,x_0+\epsilon[ \cap B)}{2\epsilon }>(n-1)/n$$ and by Fact 1, there exist $$ n puntos $M_0, M_1, \cdots, M_{n-1}$ $\phi(B \cap [x_0 -\epsilon,x_0+\epsilon[)$ cuales son los vértices de un regular $n$de lados del polígono. A partir de estos puntos que elegir un punto de $M_{k_0}$ lo cual es un punto más cercano por el punto $(0, \frac{2\epsilon}{2\pi})$ from the left (along the circle $C$). A continuación, los puntos $\phi^{-1}(M_{k_0}), \phi^{-1}(f^{1}(M_{k_0})),\cdots,\phi^{-1}(f^{n-1}(M_{k_0})$ son en $B \cap [x_0 -\epsilon,x_0+\epsilon[$ y constituyen una progresión aritmética.

Answer 3

El Hecho 2 implica que no necesitamos ninguna restricción que$m(A)>\frac{2n-1}{2n}(b-a)$. Es suficiente exigir que$m(A)>0$.

Está sujeto de interés que existe un conjunto nulo de Lebesgue$X$ en$\mathbb{R}$ que satisface las siguientes condiciones:

(yo) $\mbox{card}(X)=2^{\aleph_0}$;

(Ii) para un arbitrario $ n> 2$ there are no $ n$ points in $ X $ que constituyen una progresión aritmética.

La prueba de este hecho implica esencialmente una existencia de Lebesgue mesurable Hamel bases (más de todos los racionales$\mathbb{Q}$) en$\mathbb{R}$.