Comprobar$\;y=\dfrac{\sin x}{x}\;$ es la solución de$\;xy'+y=\cos x\;$

Question

¿Cómo puedo comprobar que$\;y=\dfrac{\sin x}{x}\;$ es una solución de$\;xy'+y=\cos x\;$?

Answer 1

Calcular$y'$ utilizando$$y=\dfrac{\sin x}{x},\tag{1}$ $

Sustituya su resultado,$y'$, en la ecuación$$xy'+y=\cos x,\tag{2}$ $

Evalúe y compruebe que el lado izquierdo de$(2)$ es igual al lado derecho de$(2)$.

Answer 2

Uno puede siempre comprobar si una función "trabaja" substituyendo. En este caso, podemos hacerlo mejor. Para tener en cuenta que$xy'+y=(xy)'$. Así que nuestra ecuación puede ser reescrito como$$(xy)'=\cos x.$ $ Integrar. Conseguimos$xy'=\sin x +C$ y por lo tanto la solución general es$$\frac{\sin x +C}{x}.$ $

Answer 3

En caso de que quiera saber cómo llegar a la solución. Puesto que se trata de una ecuación lineal de orden uno:

ps

Ahora ponemos

ps

La solución general es

ps

Answer 4

Solo diferenciar$y=(\sin x)/x$ ..

$\Rightarrow xy=\sin(x)$

Aplicando regla uv sobre LHS y derivado$\sin$ en RHS

$\Rightarrow xy'+ y=\cos( x)$