Estoy tratando de entender los procedimientos de construcción de medida en espacios de dimensión infinita. ¿Por qué no es posible en general construir la medida de Lebesgue en$\mathbb{R}^\mathbb{N}$ or$\mathbb{R}^\mathbb{R}$?
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Primeras construcciones de la "medida de Lebesgue" en la $\mathbb{R}^{\infty}$ puede ser encontrado en los papeles:
[1] Baker, R., "la medida de Lebesgue" en la $\mathbb{R}^{\infty}$, Proc. Amer. De matemáticas. Soc., vol. 113, no. 4, 1991, p 1023--1029.
[2] Baker, R., "la medida de Lebesgue" en la $\mathbb{R}^{ \infty}$. II. Proc. Amer. De matemáticas. Soc., vol. 132, no. 9, 2003, pp 2577--2591.
Algunas generalizaciones de Baker construcciones se pueden encontrar en los siguientes artículos:
[3] G. Pantsulaia, Sobre ordinario y Estándar de Lebesgue Medidas en $\mathbb R^{\infty}$, Bull. Polaco Acad. Sci., 73(3) (2009), 209-222.
[4] G. Pantsulaia, En un producto estándar de un arbitrario de la familia de finito de medidas de Borel con dominio en polaco espacios, la Teoría de Stoch. Proceso, vol. 16(32), 2010, nº 1, pág.84-93 por.
[5] G. Pantsulaia, Sobre ordinario y productos estándar de la familia infinita de $\sigma$-finito medidas y algunas de sus aplicaciones, Acta de Matemáticas. El pecado. (Engl. La Ser.), 27 (2011), no. 3, 477--496.
Hui Yu
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5727
No estoy muy seguro de lo que quieres decir. Pero la construcción de la medida de Lebesgue en$X$ aprendí usando el teorema de representación de Riesz para identificar la medida de Lebesgue como una función lineal continua sobre$C(X)$. Pero esto requiere que el$X$ sea localmente compacto, y si$X$ es un espacio vectorial, los únicos locales compactos son$\mathbb{R}^n$.
Voy a probarlo para $\mathbb R^{\mathbb N}$. (Una prueba para todos los espacios de Banach que se da aquí.)
Considerar el cubo de $(-1,1]^{\mathbb N}$. Puede ser dividido en un número infinito de copias traducidas de el cubo de $(0,1]^{\mathbb N}$, por lo que si queremos que todos tengan el mismo volumen, y el cubo de $(-1,1]^{\mathbb N}$ tener volumen finito, entonces el volumen de cada uno debe ser $0$. Ahora, podemos cubrir todo el espacio $\mathbb R^{\mathbb N}$ con countably muchas copias de la cube $(0,1]^{\mathbb N}$, de modo que todo el espacio de $\mathbb R^{\mathbb N}$ debe tener medida $0$, y por lo tanto todos los subconjuntos también debe tener la medida de $0$. Por lo tanto la única finito de traducción-invariante medida completa en $\mathbb R^{\mathbb N}$ es el trivial de medida $0$.
dysan1257
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Feynman ha hecho algo como esto cuando define path integral. Es una medida dimensional infinita.
$\int_{\mathbb{R}^\mathbb{N}}d^{\infty}x \mathcal{Dx}e^{i\mathcal{S}[x]}$
Es una fórmula tan hermosa, pero muchos matemáticos tienen problemas para justificar? Respuesta: No es una medida dimensional infinita.
