Identificar la propiedad universal de los núcleos

Question

Estoy leyendo "Categories for the Working Mathematician" de Mac Lane. He encontrado la siguiente frase en la página 59 del mismo:

Del mismo modo, el núcleo de un homomorfismo (en $\mathbf{Ab}$ , $\mathbf{Grp}$ , $\mathbf{Rng}$ , $R$ - $\mathbf{Mod}$ . . .) es un universal, más exactamente, un universal para un functor contravariante adecuado.

Sé cómo expresar un cociente por una propiedad universal en una categoría. Pero realmente tengo problemas para entender cómo expresar el núcleo de un homomorfismo como si tuviera una propiedad universal.

Answer 1

Deje $f : G \to H$ ser un homomorphism de abelian grupos. El núcleo de $f$ es un par $(K,i)$, que consta de un grupo abelian $K$, es decir,$\{g \in G : f(g)=0\}$, y un homomorphism $i : K \to G$, la inclusión, con $fi = 0$. Aquí, yo denotar con $0$ el trivial homomorphism. Si $(T,j)$ es otro ejemplo del par, no hay una única homomorphism $k : T \to K$ tal que $ik=j$. (Dibuje un diagrama!) Esto es debido a que $f(j(t))=0$ implica $j(t) \in K$, etc. Esta es la característica universal del kernel.

Cómo interpretar esto como un elemento universal de un functor? Bien, considerar el functor $\mathsf{Grp}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ que se asigna a cada grupo $T$ el conjunto de todos los homomorphisms $j : T \to G$$fj=0$. La acción en morfismos es clara. De hecho, este será un subfunctor de $\hom(-,G)$. A continuación, el kernel $(K,i)$ es un elemento universal de este functor.

Answer 2

En una categoría abeliana, el núcleo de un morfismo $f\colon X\to Y$ es una solución del siguiente problema universal: encontrar un morfismo $i\colon K\to X$ tal que:

1. $f\mkern 1.5mu i=0$ .
2. para cualquier morfismo $u\colon Z\to X$ tal que $f\mkern 1.5mu u=0$ existe un morfismo $v:Z\to K$ tal que $u=i\mkern 1.5mu v$ .

Más generalmente, en una categoría con morfismos nulos, $\ker f$ puede definirse como el ecualizador de $f$ y $\, 0_{XY}$ (de nuevo un problema universal).