Medida de Haar para la teoría numérica algebraica: ¿Qué debo saber?

Question

Recientemente he enseñado a mí mismo en alguna teoría algebraica de números y estoy preparando para tomar un curso en la clase de teoría de campo de este otoño. Entiendo que la noción de una medida de Haar en un local topológicos compactos del grupo es importante y preguntaba si alguien me podria decir específicamente lo que debe saber acerca de ello para la teoría algebraica de números o de campo de clase de teoría.

Tengo una sólida formación en álgebra abstracta, pero comparativamente más débil de fondo en el análisis y la topología. Así que, yo probablemente no tienen el tiempo para aprender toda la teoría de la medida de Haar, sólo lo que será necesario para entender el material de clase de la teoría de campo. El enfoque que estamos teniendo en la clase usa tanto la L-funciones y cohomology.

Answer 1

Mi conjetura es que usted no necesita saber mucho, y que el siguiente es generalmente suficiente:

• La medida de Haar, que es la traducción de todos los idiomas, existe y es único en cualquier localmente topológicos compactos grupo. (La singularidad parte podría no ser tan importante, pero es genial.)
• Puede ser normalizado para grupos compactos (por ejemplo, $\Bbb Z_p$ tiene una medida de $1$ wlog).
• La integración puede llevarse a cabo en medir los espacios, en particular de grupos topológicos.
• Lo que la medida se ve como explícitamente - en concreto, (i) la medida de open básica de conjuntos estándar topoplogical bases, y (ii) cómo se descomponen los tipos de regiones de integración vas a trabajar en open básica de conjuntos.
• Cómo manipular las integrales. Por ejemplo, $\int\frac{dx}{|x|}$ nos puede dar la multiplicativo Haar medida de un conjunto en términos de la aditivo medida de Haar, y tendrás que ser capaz de romper aparte y reajuste de parámetros integrales en un objetivo orientado a la moda.
• Saber cómo las propiedades básicas de la transformada de Fourier generalizar arbitraria de las LCA de los grupos. (Por ejemplo, por Tate tesis sabemos que la ecuación funcional de la Riemann zeta función es esencialmente una aplicación directa de la sumación de Poisson fórmula sobre la adeles, si mal no recuerdo.)

Por supuesto, usted querrá saber la topología en los campos de la región, adeles, ideles, y grupos de Galois. Las balas por encima de las se basan en mi exposición a la teoría de los números hasta el momento, así que tal vez podría ser mejor.

Mucho de lo anterior es bastante "tener un conocimiento de trabajo de cálculo y teoría de Fourier, pero a medida que se aplican a topológica de los anillos y de los grupos que aparecen en la teoría de los números," que no es demasiado difícil, ya que normalmente somos lo suficientemente familiarizado con la costumbre de cálculo y teoría de Fourier, y lo suficientemente familiarizado con los anillos y de los grupos en teoría de números, que podemos combinar las dos bases de conocimiento sin mucho problema. Como yo lo entiendo, la prueba de la existencia de Haar medidas no es fácil ni divertido leer (yo no lo he leído), pero no será necesario.