Modelos de la teoría de campos cerrados reales con constantes extra

Question

Deje $L$ ser la lengua de la real cerrado campos de $\{0,1,+,-,\times\}$, e $T$ la teoría de la real de campos cerrados, es decir, el $L$-oraciones que son verdaderas en el estándar $\mathbb{R}$ modelo. Deje $L'$ $L$ extendida con una contables conjunto de constantes.

Si $\Gamma$ es válido contables conjunto de $L'$ oraciones que contiene $T$, debe tener un modelo que puede ser obtenido a partir de la norma $\mathbb{R}$ modelo de $L$ mediante la asignación de un real a cada uno de los agregados constantes?

Si sí, es la misma verdad cuando hay $|\mathbb{R}|$-muchas constantes? Cuando hay $|\mathbb{R}|$-muchas constantes y al $\Gamma$ tiene mayor cardinalidad?

Si crea una nueva teoría de un modelo mediante el aumento de la lengua con constantes, es la nueva teoría de contener frases que dice algo "original"? es una pregunta relacionada.

Answer 1

No, agregue una nueva constante$c$ y añada los axiomas para su nueva teoría,$$0<c<\frac{1}{n}.$ $ Esto es consistente, ya que cualquier número finito de los axiomas son satisfactorios.

Answer 2

La respuesta es no, porque los reales son de Arquímedes.

Así, por ejemplo, si se toma solo una constante $c$ y tomar por $\Gamma$ frases $0<c$, y para todos los números naturales, $n$, $c<1/n$, a continuación, $RCF+\Gamma$ es claramente válido (es decir, por el real cierre de ${\bf R}[x]$ con su favorito de pedidos), pero que no se puede nombrar un $c$${\bf R}$.

Tenga en cuenta que lo que pedimos es que realmente si cualquier tipo de countably muchos/ continuum muchas variables sobre el conjunto vacío puede ser realizada en ${\bf R}$, que está muy cerca (aunque ligeramente más débil en general) para preguntar si ${\bf R}$ es saturada en algunos de cardinalidad.

De hecho, esto es equivalente a preguntar si cada contables real campo cerrado (o de tamaño hasta continuo) puede ser embebido en reales (con lo que quiero decir elementarily incrustado, pero de verdad campos cerrados este es el mismo como simplemente algebraicamente incorporado, gracias al modelo de integridad), es decir, sobre si son o no reales son un modelo universal (para el adecuado cardinalidad). Creo que no es un ejercicio para ver que no es un modelo de $R$ $RCF$ de tamaño continuum que tiene su propiedad para contables $\Gamma$ (simplemente tomar la directa límite de todos los modelos contables (hasta el isomorfismo)). Yo también creo que es cierto por una estabilidad de la teoría de la argumentación (aunque no estoy seguro de que en el momento; creo que también debe ser factible en su mayoría de orden de la teoría de la forma), que este tipo de modelo (de tamaño continuum) no existe para $\Gamma$ de tamaño y de forma continuada.

Answer 3

Las otras dos respuestas son absolutamente correcto; permítanme darles una respuesta en una dirección diferente. Decir que una teoría de la $T$ en el idioma de ordenada campos + constantes es $\mathbb{R}$-conste que si se tiene un modelo que es una expansión de $\mathbb{R}$ con la habitual ordenó la estructura del campo; estoy interesado en el modelo teórico de las propiedades de $\mathbb{R}$-satisfiability.

Una pregunta natural es, "¿hay un teorema de compacidad para $\mathbb{R}$-satisfiability?" La respuesta es no (y esto proporciona otro contraejemplo a la pregunta que se le pregunte). Considerar la teoría de la $T$ consta de los axiomas de la real de campos cerrados, junto con

• $c_i+1<c_{i+1}$ $i>0$ , y

• $c_0>c_i$ $i>0$.

A continuación, cada subconjunto finito de $T$ $\mathbb{R}$- conste, sino $T$ sí no es, desde $c_0$ tendría que ser infinito.

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¿Qué acerca de la "compacidad en otras cardinalidades"? Decir que $\mathbb{R}$-satisfiability es $(\kappa, \lambda)$-compacto si cada vez que $\Gamma$ es un conjunto de sentencias de cardinalidad $<\lambda$, y cada subconjunto de cardinalidad $<\kappa$ $\mathbb{R}$- conste que, a continuación, $\Gamma$ $\mathbb{R}$- conste. (Tan habitual compacidad es $(\omega, \infty)$-compacidad y contables de la compacidad es $(\omega,\omega_1$)-compacidad.)

Es $\mathbb{R}$-satisfiability $(\omega_1, \omega_2)$-válido? No! Dado $\omega_1$-a muchas de las constantes $c_\eta$ ($\eta<\omega_1$), considerar la teoría de la $S=\{c_\alpha<c_\beta: \alpha<\beta\}$. Cada contables subconjunto de $S$ $\mathbb{R}$- conste que, desde cualquier contables de orden lineal incrusta en $\mathbb{R}$, pero $S$ sí no $\mathbb{R}$-conste: si $c<d$ son reales, entonces no es un racional $c<q<d$, por lo que el $\mathbb{R}$-satisfiability de $S$ implicaría que los racionales son innumerables.

Es $\mathbb{R}$-satisfiability $(\omega_2,\omega_3)$-válido? No de modo demostrable en ZFC! Supongamos que CH tiene - que es, $\vert\mathbb{R}\vert=\aleph_1$ - y hemos constante de símbolos $c_\alpha$$\alpha<\omega_2$. A continuación, $\{c_\alpha\not=c_\beta: \alpha\not=\beta\}$ no $\mathbb{R}$-conste, pero cada subconjunto de tamaño $<\omega_2$ $\mathbb{R}$- conste. (De manera similar, para cualquier cardenal $\kappa$ de innumerables cofinality, es consistente con ZFC que $\mathbb{R}$-satisfiability no es $(\kappa^+,\kappa^{++})$-compacto.

Esto deja dos preguntas interesantes:

• Podemos demostrar en ZFC que $\mathbb{R}$-satisfiability es $(\omega_{\omega+1},\omega_{\omega+2})$-compacto?

• Es consistente con ZFC que $\mathbb{R}$-satisfiability es $(\omega_2, \omega_3)$-compacto?

La parte superior de mi cabeza yo no sé la respuesta a cualquiera de las preguntas.

Si usted está interesado en esta clase de pregunta, usted puede disfrutar viendo modelo abstracto de la teoría.

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Nota: la pregunta general de cuando un ecuacional teoría tiene un modelo compatible con un determinado espacio topológico ha sido analizado ampliamente en álgebra universal, especialmente por Walter Taylor, extendiendo el clásico teorema de topología algebraica que $S^2$ no admite una estructura de grupo.