Si una relación es simétrica y transitiva, ¿será reflexiva?

Question

Posible duplicado:
¿Por qué la reflexividad no es redundante en la definición de la relación de equivalencia?

Hoy hemos tenido una acalorada discusión en clase y todavía no puedo estar seguro de que el profesor haya sido bueno con la solución. La pregunta es:

Si una relación es simétrica y transitiva, también será reflexiva. ¿Verdadero/Falso?

Creo que es cierto. ¡Pero si alguien puede darme el contra ejemplo!

Fuente: Ejercicio 8.46, P195 de Pruebas matemáticas 2ª (no 3ª) edición de Chartrand et al.

Answer 1

No, es falso. Consideremos, por ejemplo, la relación vacía, es decir, que no hay dos elementos de un conjunto no vacío en la relación $R$ . Entonces $R$ es transitiva y simétrica, pero no reflexiva. Sin embargo, si para cada $a$ hay $b$ , de tal manera que $aRb$ , entonces por simetría $bRa$ y por transitividad $aRa$ . Esta es la condición necesaria y suficiente para que una relación simétrica y transitiva sea reflexiva.

Answer 2

No hay que decir simplemente que una relación es reflexiva, sino que es reflexiva en un conjunto determinado. Para toda relación simétrica y transitiva, existe un conjunto en el que es reflexiva. En un caso, es el conjunto vacío.

Nota posterior: Veo que a algunos no les gusta mucho esta respuesta, así que voy a añadir algo a ver si les gusta más.

Aparentemente alguien respondía a la frase que dice "En un caso, es el conjunto vacío" diciendo que toda relación es reflexiva sobre el conjunto vacío. Pero en realidad es la restricción de la relación al conjunto vacío la que es reflexiva sobre el conjunto vacío. Si se habla de una relación como un todo y no de su restricción a algún conjunto, entonces sólo hay un conjunto en el que es reflexiva.

"ccc" dice que "toda relación es reflexiva en algún conjunto", y eso es cierto, y añade "por lo que esto es bastante tautológico tal y como está planteado". No entiendo por qué eso es una objeción a lo que he dicho.

Si una relación $R$ es simétrica y transitiva, entonces se deduce que es reflexiva en el conjunto $\{x : \exists y\ \ xRy \}$ o en $\{x: \exists y\ \ yRx\}$ . No es reflexivo en ningún conjunto menor, sino que su restricción a ese conjunto menor es reflexiva en ese conjunto menor. Tampoco es reflexivo en ningún conjunto mayor.

Por tanto, después de afirmar que una relación es simétrica y transitiva, se deduce que sólo hay un conjunto sobre el que es reflexiva y, por tanto, sólo un conjunto sobre el que es una relación de equivalencia.

La única razón por la que se añade "reflexivo" a "simétrico" y "transitivo" es ésta: Se quiere especificar algún conjunto particular sobre el que la relación es reflexiva.

Alguien dijo que la relación $R=\{(1,1)\}$ en el plató $\{1,2\}$ no es reflexivo. Pero la relación $R=\{(1,1)\}$ es no "en el plató ${1,2}$ "a no ser que se añada eso a la definición de relación; es decir, el conjunto $\{x : \exists y\ \ xRy\}$ no es $\{1,2\}$ . Creo que esa proposición debería formularse así: La relación $\{(1,1)\}$ no es reflexivo en el conjunto $\{1,2\}$ .