¿Las transformaciones Legendre tienen aplicaciones que no apelan a la convexidad?
¿Cuál es la interpretación intuitiva de la transformada de Legendre de una función no convexa?
Respuestas
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Abhishek Bajoria
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Me gustaría proponer una respuesta diferente a la segunda parte de su pregunta. Veamos un ejemplo sencillo de un no-convexo función, $A(x) = x^2-x^4$, que por supuesto se parece a esto:
(parcelas son de Wolfram|Alpha.)
Definamos $y=\frac{dA}{dx}=2x-4x^3$ y considerar la posibilidad de la transformación de Legendre $B = xy-A(x) = x^2 - 3x^4$. Resolver explícitamente para obtener $B$ como una función de la $y$ implica resolver una ecuación cúbica y parece que no llevan a ninguna parte bonita, pero fácilmente se puede hacer un gráfico paramétrico de $B(x)$ contra $y(x)$ a ver lo que se vería. El resultado es este: ($B$ es el eje vertical y $y$ es el eje horizontal)
Creo que Legendre transformaciones de funciones con una sola no-convexa de la región siempre será cualitativamente similares a este. En general, la transformación de Legendre de esta función será un múltiplo valor de la función con este distintivo de "cola de golondrina", de forma. No siempre será simétrica, por supuesto, pero siempre habrá dos puntos donde la curva cambia de dirección y un punto donde se cruza a sí misma. La dirección de la curvatura de los tres segmentos de línea también siempre siguen el patrón de la parcela.
La razón por la que la curva cambia de dirección, es simplemente que $y$ es la pendiente de la $A(x)$ curva. Para una función convexa, $\frac{dy}{dx} = \frac{d^2 A}{dx^2}$ es siempre negativo, por lo $y$ cambios monótonamente con $x$; pero para un no-convexa de la función hay una región donde $\frac{dy}{dx} = \frac{d^2 A}{dx^2}>0$, correspondiente a un cambio en la pendiente de $y(x)$. De hecho, podemos ver que este no-monotonía, mediante el trazado de $y=2x-4x^3$ contra $x$:
Si hay varias regiones cóncavas, a continuación, habrá múltiples reversiones de el signo de $dy/dx$, correspondiente a varios comines en la transformación de Legendre. Creo que varios de estos comines puede ser una especie de anidado dentro de uno a otro.
Si uno no sustituye al convexa de la función con su casco convexo, a continuación, la "cola de golondrina" van a desaparecer, con el punto donde la curva cruza convertirse en un "pliegue" en la curva, donde la segunda derivada se convierte en infinito. Esto se traduce en un valor único de función convexa.
En cuanto a que si esta interpretación es útil, no estoy seguro, pero creo que sí. Parece relacionados con la cola de golondrina catástrofe (aunque yo no sé mucho acerca de la teoría de catástrofes), y también parece estar relacionado con de primer orden de las transiciones de fase de la mecánica estadística. Estos pueden ser vistos como debido a un no-convexidad en la entropía (que luego se sustituye por su convex hull). Esto es equivalente a una cola de golondrina en la energía libre de ser reemplazado por una torcedura, ya que los dos están de Legendre transforma el uno del otro. Nunca he visto esta cola de golondrina de la curva representada en la termodinámica de texto, pero no es raro ver a las parcelas correspondientes a la $y(x)$ que se muestra arriba.
Puedo responder a su segunda pregunta.
Recordemos que por convexa de la dualidad, la aplicación de la transformación de Legendre de dos veces en un convexo (y coercitivas) función te devuelve la función original. Ahora, incluso si se conecta un no-convexa de la función $W$ en lugar de ello, la transformación de Legendre $W^*$ será convexa y coercitivas (uno puede ver que en la definición) y así es $V:=(W^*)^*$. Tan claramente convexo de la dualidad no se trasladan a la no-convexo caso. Sin embargo se puede demostrar que (en los supuestos de curso) que $V$ es el convexification o convexo casco de $W$, que es aproximadamente (aquí $W:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$) de la función cuya gráfica es la curva de límite del casco convexo de un conjunto $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,y\ge f(x)\}$. Por convexa de la dualidad llegamos a la conclusión de que $V^*=((W^*)^*)^*=W^*$, por lo que la transformación de Legendre de un no-convexo función es la transformación de Legendre de convexification.
