Norma de Gowers - brecha entre $U_3$ y $U_4$ ¿normas?

Question

Para una función $f$ se sabe que $|f|_{U_2} \le |f|_{U_3} \le |f|_{U_4} \le\dots$

¿Hay algún ejemplo para una función $f$ tal que $|f|_{U_3} < |f|_{U_4}$ (es decir, no son iguales). Cuanto mayor sea la diferencia entre ellos, mejor.

Creo que hay una construcción conocida de Gowers haciéndolo pero no tengo ninguna referencia.

Answer 1

En realidad, creo que cualquier función no constante proporcionaría un ejemplo de desigualdad estricta: las igualdades que mencionas se demuestran mediante la aplicación repetida de la desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a una mezcla de la función $f$ con la función constante 1, y la igualdad en la desigualdad convencional de CS sólo se mantendría si $f$ también era una constante: por lo tanto, si no en algún momento de su prueba las desigualdades se convertirían en estrictas.

Para obtener el mejor hueco posible, probablemente debería buscar (en su caso) funciones de fase cúbicas como $e(x^3)$ - El cálculo explícito muestra que esto tiene grandes $U^4$ norma, pero como no se correlaciona bien con ninguna función de fase cuadrática no puede tener una gran $U^3$ norma (por la inversa $U^3$ resultado debido a Green y Tao). Los detalles del cálculo y la magnitud de la diferencia dependerían del grupo sobre el que se tomaran las normas.

EDIT: Para ser más precisos, y para dar una referencia, lo siguiente es el ejercicio 11.1.12 en Tao y Vu:

Si $P$ es un polinomio de grado $d$ con coeficientes en $\mathbb{F}_p$ y $f(x)=e(P(x)/p)$ (definiendo $x\mapsto x/p$ de manera que se asigne a $[0,1)$ de forma obvia) entonces tenemos $$\| f\|_{U^{d'}}=1$$ para todos $d'>d$ pero $$ \| f\|_{U^{d'}}\leq ((d-1)/p)^{1/2^d}$$ para todos $1\leq d'\leq d$ .

Por ejemplo, si $f(x)=e(x^3/p)$ entonces $ \| f\|_{U^{4}}=1$ pero $ \| f\|_{U^{3}}\leq (2/p)^{1/8}$ que puede hacerse arbitrariamente pequeño aumentando $p$ .