Número de triples$(a,b,c)$ de enteros positivos tales que$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{4}$?

Question

¿Cuál es el número de triples$(a,b,c)$ de enteros positivos tales que$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{4}$ es:

UN) $16$

Significado de la palabra b

C

D

E

Nota: A través de prueba y error he concluido que es mayor que$25$, pero me pregunto si hay una mejor manera de resolverlo. Creo que esta pregunta fue en un concurso, pero no sé cuál.

Answer 1

Suponga que $a\le b\le c$. El promedio de las fracciones $\frac1a,\frac1b$, e $\frac1c$$\frac14$, lo $\frac1a\ge\frac14$, e $a\le 4$. Claramente $a>1$, lo $a$ debe $2,3$ o $4$.

• Si $a=4$, la única posibilidad es $a=b=c=4$.

• Supongamos que $a=3$. Si $b=3$, $\frac1c=\frac34-\frac23=\frac1{12}$, por lo $c=12$. Si $b=4$, $\frac1c=\frac34-\frac13-\frac14=\frac16$, por lo $c=6$. Si $b\ge 5$,$c\ge 5$, así que $\frac1a+\frac1b+\frac1c\le\frac13+\frac25=\frac{11}{15}<\frac34$, por lo que no hay más soluciones con $a=3$.

• Supongamos que $a=2$; claramente $\frac1b+\frac1c=\frac14$, lo $b>4$. Si $b=5$, $\frac1c=\frac14-\frac15=\frac1{20}$, por lo $c=20$. Si $b=6$, $\frac1c=\frac14-\frac16=\frac1{12}$, por lo $c=12$. Si $b=7$,$\frac1c=\frac14-\frac17=\frac3{28}$, por lo que no hay solución en este caso. Si $b=8$, claramente $c=8$. Por último, si $b>8$,$\frac1b+\frac1b\le\frac29<\frac14$, y no hay más soluciones.

Las soluciones de $\langle a,b,c\rangle$ $a\le b\le c$ son por lo tanto $\langle 4,4,4\rangle$, $\langle 3,3,12\rangle$, $\langle 3,4,6\rangle$, $\langle 2,5,20\rangle$, $\langle 2,6,12\rangle$, y $\langle 2,8,8\rangle$, para un total de seis soluciones. Si el conteo de permutaciones diferentes de la misma enteros por separado, no se $3\cdot3!+2\cdot3+1=25$ soluciones.