Falta una potencia necesaria en esta prueba ayuda por favor.

Question

Esta pregunta es algo relacionado con el Gradiente de Estimación - Pregunta sobre la Desigualdad versus Igualdad de signo en una parte.

Esa pregunta estaba relacionada con la parte (c) de un problema en el que estoy trabajando, y esta pregunta está relacionada con la parte (b).

Específicamente, necesito mostrar los siguientes:

Deje $u$ $v$ ser de dos funciones en $\Omega$ relacionadas como sigue: $$ |u(x)| \leq \int_{\Omega}K(x,y)|v(y)|dy, \quad x \in \Omega, $$ para algunos kernel $K(x,y)$. Demostrar que para cualquier $1 \leq p \leq q \leq \infty$, tenemos $$ ||u||_{L^{q}(\Omega)}\leq A||v||_{L^{p}(\Omega)} $$ donde $A = \max \left( \sup_{x}||K(x,\cdot)||_{L^{\frac{pq}{pq+p-q}}(\Omega)},\sup_{y}||K(\cdot,y)||_{L^{\frac{pq}{pq+p-q}}(\Omega)} \right)$.

Así, comenzando con $u$, $v$ en $\Omega$ satisfacción $$|u(x)| \leq \int_{\Omega}K(x,y)|v(y)|dy \quad (*)$$

Tengo que $$(*) \leq \int_{\Omega} |K(x,y) |v(y)|| dy \\ = \int_{\Omega}|K(x,y)v(y)| dy \\ = \int_{\Omega}|K(x,y)^{\alpha+1-\alpha}v(y)|dy\\ \leq \int_{\Omega}|K(x,y)|^{\alpha}|K(x,y)|^{1-\alpha}|v(y)|dy \\ = \int_{\Omega} |K(x,y)|^{\alpha} |K(x,y)|^{1-\alpha}|v(y)|^{1-\beta + \beta} dy\\ \leq \int_{\Omega}|K(x,y)|^{\alpha}(|K(x,y)|^{1-\alpha}|v(y)|^{1-\beta})|v(y)|dy \quad (1)$$

Muestra del Titular de la Desigualdad a $(1)$, obtenemos que

$$(1) \displaystyle \leq \left[ \int_{\Omega} |K(x,y)|^{\alpha a} dy\right]^{1/a} \cdot \left[ \int_{\Omega} |K(x,y)|^{(1-\alpha)c} |v(y)|^{(1-\beta)c}dy \right]^{1/c} \cdot \left[\int_{\Omega}|v(y)|^{\beta b}dy \right]^{1/b}, $$

donde $\displaystyle 1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}. \quad (1^{\prime})$

Ya que queremos que la $L^{p}$ norma de $v$ a aparecer en el lado derecho, seleccione $\beta b = p$.

Por lo tanto, $\displaystyle b = \frac{p}{\beta}. \quad (2)$

También, vamos a $(1-\beta)c = p$, lo que implica que $\displaystyle \beta = 1 - \frac{p}{c}$.

Elevar (1) para la alimentación de $q$ y tomando la integral con respecto a x, obtenemos que

$$ \int |u(x)|^{q} dx \leq \int \left( \left[ \int|K(x,y)|^{\alpha a}dy \right]^{q/a}\left[ \int|K(x,y)|^{(1-\alpha)c}|v(y)|^{(1-\beta)c}dy\right]^{q/c}||v||_{L^{p}}^{\beta q}\right) dx. $$

Ahora, para que podamos ser capaces de cambiar el orden de integración, tenemos $\displaystyle \frac{q}{c} = 1$, lo $q = c. \quad (4)$

Por lo tanto, $(3)$ hace $\displaystyle \beta = 1 - \frac{p}{q} \quad (3^{\prime})$,

y $(2)$ hace $\displaystyle b = \frac{p}{\displaystyle \left( 1 - \frac{p}{q}\right)} = \frac{pq}{q-p} \quad (2^{\prime})$.

Sustituyendo $(4)$ $(2^{\prime})$ a $(1^{\prime})$, obtenemos una expresión para $a$:

$\displaystyle a = \frac{p}{p-1} \quad (5)$

Delimitador de todo, obtenemos

$$||u||_{L^{q}}^{q} \leq \sup_{x}\left( \int|K(x,y)|^{\alpha a}dy\right)^{q/a} \cdot \left[\sup_{y}\int |K(x,y)|^{(1-\alpha)c}dx \right] ||v||_{L^{p}}^{p+\beta q}. \quad (6)$$

Observe también que $\displaystyle \frac{q}{a} = 1$, por lo que

$$ (6) = \left[ \sup_{x}\int|K(x,y)^{\alpha a}dy\right] \cdot \left[ \sup_{y} \int |K(x,y)|^{(1-\alpha)c}dx \right] \cdot ||v||_{L^{p}}^{p+\beta q}. \quad (6^{\prime})$$

Ahora, necesitamos $\sup_{x}$, $\sup_{y}$, y cada uno de estos kernels para ser finito, así que elige $\alpha$, de modo que $\alpha a = (1-\alpha)c$, lo que implica entonces que $\displaystyle \alpha = \frac{c}{a+c}$.

Entonces, sustituyendo nuestros valores de $a$ y $c$ [$(5)$ y $(4)$], respectivamente, obtenemos que

$\alpha = \frac{q}{\frac{p}{p-1}+q} = \frac{q(p-1)}{p+pq-q} \quad (7)$

y que

$(1-\alpha) = \frac{p}{p+pq-q}. \quad (7^{\prime})$

Por eso, $\alpha a = \frac{pq}{p+pq-q}$, e $(1-\alpha)c = \frac{pq}{p+pq-q}. \quad (7^{\prime\prime})$

Por lo tanto, $(6^{\prime})$ se convierte en

$$ = \left[ \sup_{x}\int |K(x,y)|^{\frac{pq}{p+pq-q}}dy\right] \cdot \left[ \sup_{y} \int |K(x,y)|^{\frac{pq}{p+pq-q}}dx\right]||v||_{L^{p}}^{p+(1-\frac{p}{q})\cdot q}. \quad (8)$$

Pero, desde $\displaystyle p + \left( 1-\frac{p}{q}\right)q = q$, $(8)$ se convierte en

$$ = \left[\sup_{x}\int|K(x,y)|^{\frac{pq}{p+pq-q}}dy\right]\left[ \sup_{y} \int |K(x,y)|^{\frac{pq}{p+pq-q}} dx \right] ||v||_{L^{p}}^{q}$$.

Lo que me lleva a mi pregunta.

Tomando $q$th raíces, se ve que tenemos los siguientes:

$$ ||u||_{L^{q}(\Omega)} \leq \left[\sup_{x}\int|K(x,y)|^{\frac{pq}{p+pq-q}}dy\right]^{1/q}\left[\sup_{y}\int |K(x,y)|^{\frac{pq}{p+pq-q}}dx\right]^{1/q}||v||_{L^{p}}$$,

pero lo que necesito es:

$$ ||u||_{L^{q}(\Omega)} \leq \left[\sup_{x}\int|K(x,y)|^{\frac{pq}{p+pq-q}}dy\right]^{\frac{p+pq-q}{pq}}\left[\sup_{y}\int |K(x,y)|^{\frac{pq}{p+pq-q}}dx\right]^{\frac{p+pq-q}{pq}}||v||_{L^{p}}$$,

así que voy a tener el $||K(x,y)||_{L^{\frac{pq}{pq+p-q}}}$ normas sobre los RHS que necesito.

Así que, ¿qué estoy esperando que alguien me va a decir es, ¿de dónde me van mal en la "extraviar" estos poderes? ¿Cómo puedo solucionar esto para que voy a obtener la correcta norma en mi respuesta final?

Gracias de antemano! Yo realmente apreciaría su ayuda!!

Answer 1

Vamos a introducir un par de anotaciones para una mayor claridad. Para cualquier $r\in [1,\infty]$, podemos definir

$$X_r := \sup_{x\in\Omega} \lVert K(x,\cdot)\rVert_r, \quad Y_r := \sup_{y\in\Omega} \lVert K(\cdot,y)\rVert_r, \quad A_r = \max \{ X_r,Y_r\},$$

y para mayor brevedad escribimos $\lVert\cdot\rVert_r$ en lugar de $\lVert\cdot\rVert_{L^r(\Omega)}$. La afirmación es

$$\lVert u\rVert_q \leqslant A_r\lVert v\rVert_p\tag{$\ast$}$$

para todos los $1\leqslant p \leqslant q$, donde

$$r = \begin{cases} \frac{pq}{pq+p-q} &, q < \infty\\ \quad 1 &, p=q=\infty\\ \;\;\frac{p}{p-1} &, 1 < p < q=\infty\\ \quad\infty &, 1 = p < q = \infty.\end{cases}$$

Primero vamos a obtener los casos simples de la siguiente manera:

• $p=q=\infty$: A continuación, $r=1$ y tenemos, por cada $x\in \Omega$, $$\lvert u(x)\rvert \leqslant \int \lvert K(x,y)\rvert\cdot\lvert v(y)\rvert\,dy \leqslant \int \lvert K(x,y)\rvert\,dy\cdot \lVert v\rVert_\infty \leqslant X_1\lVert v\rVert_\infty \leqslant A_1\lVert v\rVert_\infty,$$ and $(\ast)$ de la siguiente manera.

• $p=1, q=\infty$: A continuación, $r=\infty$ y, para cada $x\in \Omega$, $$\lvert u(x)\rvert \leqslant \int \lvert K(x,y)\rvert\cdot\lvert v(y)\rvert\,dy \leqslant \lVert K(x,\cdot)\rVert_\infty \int \lvert v(y)\rvert\,dy \leqslant X_\infty \lVert v\rVert_1 \leqslant A_\infty\lVert v\rVert_1,$$ and again $(\ast)$ de la siguiente manera directa.

• $1 < p < q = \infty$: A continuación, $r = \frac{p}{p-1} = p'$ es el conjugado exponente de $p$, y $$\lvert u(x)\rvert \leqslant \int \lvert K(x,y)\rvert\cdot\lvert v(y)\rvert\,dy \leqslant \lVert K(x,\cdot)\rVert_r\cdot\lVert v\rVert_p \leqslant X_r\lVert v\rVert_p \leqslant A_r\lVert v\rVert_p.$$ Once more, $(\ast)$ de la siguiente manera directa.

• $1 = p = q$: A continuación, $r = 1$ demasiado, y podemos cambiar directamente el orden de integración: $$\lVert u\rVert_1 \leqslant \int \left(\int \lvert K(x,y)\,dx\right)\lvert v(y)\rvert\,dy = \int \lVert K(\cdot,y)\rVert_1\lvert v(y)\rvert\,dy \leqslant Y_1\int\lvert v(y)\rvert\,dy \leqslant A_1\lVert v\rVert_1.$$

• $1 = p < q < \infty$: A continuación,$r = q$, y $$\lvert u(x)\rvert \leqslant \int\left(\lvert K(x,y)\rvert\cdot\lvert v(y)\rvert^{1/q}\right)\lvert v(y)\rvert^{1-1/q}\,dy \leqslant \left(\int \lvert K(x,y)\rvert^q\lvert v(y)\rvert\,dy\right)^{1/q}\lVert v\rVert_1^{1-1/q}.$$ Raising to the $q$-th power and integrating gives $$\lVert u\rVert_q^q \leqslant \int \underbrace{\lVert K(\cdot,y)\rVert_q^q}_{\leqslant Y_q^q}\lvert v(y)\rvert\,dy \leqslant A_q^q\lVert v\rVert_1^q,$$ and taking $q$-th roots yields $(\ast)$.

• $1 < p = q < \infty$: A continuación, $r = 1$ y $$\lvert u(x)\rvert \leqslant \int \lvert K(x,y)\rvert^{1-1/p}\left(\lvert K(x,y)\rvert^p\lvert v(y)\rvert\right)\,dy \leqslant \underbrace{\lVert K(x,\cdot)\rVert_1^{1-1/p}}_{\leqslant X_1^{1-1/p}}\left(\int \lvert K(x,y)\rvert\cdot\lvert v(y)\rvert^p\,dy\right)^{1/p}.$$ Raising to the $p$-th power and integrating, switching the order of integration, then gives $$\lVert u\rVert_p^p \leqslant X_1^{p-1}Y_1 \lVert v\rVert_p^p \leqslant A_1^p\lVert v\rVert_p^p,$$ and taking the $p$-th root gives $(\ast)$.

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Ahora viene lo más difícil caso, $1 < p < q < \infty$. Empezamos por dividir el integrando en tres factores en el lado derecho,

$$\begin{align} \lvert u(x)\rvert &\leqslant \int \lvert K(x,y)\rvert^\alpha \left(\lvert K(x,y)\rvert^{1-\alpha}\lvert v(y)\rvert^{1-\beta}\right)\lvert v(y)\rvert^\beta\,dy\\ &\leqslant \lVert K(x,\cdot)\rVert_r^{\alpha/r}\left(\int \lvert K(x,y)\rvert^r\lvert v(y)\rvert^p\,dy\right)^{(1-\alpha)/r}\lVert v\rVert_p^{\beta}\\ &\leqslant X_r^\alpha \lVert v\rVert_p^\beta \left(\int \lvert K(x,y)\rvert^r\lvert v(y)\rvert^p\,dy\right)^{(1-\alpha)/r} \tag{1} \end{align}$$

por Hölder la desigualdad de tres factores, siempre hemos

$$\frac{\alpha}{r} + \frac{1-\alpha}{r} + \frac{\beta}{p} = 1 \quad\text{and}\quad \frac{1-\alpha}{r} = \frac{1-\beta}{p}.$$

La segunda de estas condiciones alcanza el integrando $\lvert K(x,y)\rvert^r\cdot\lvert v(y)\rvert^p$ en el resto de la integral. Determinar el $\alpha$ $\beta$ a partir de estas condiciones los rendimientos

$$\alpha = r\left(1-\frac{1}{p}\right),\qquad \beta = p\left(1-\frac{1}{r}\right),$$

y verificamos

$$\frac{1-\alpha}{r} = \frac{1}{r} - \left(1-\frac{1}{p}\right) = \frac{1}{r}+\frac{1}{p}-1 = \frac{1}{p}-\left(1-\frac{1}{r}\right) = \frac{1-\beta}{p},$$

y

$$\frac{\alpha}{r} + \frac{1-\alpha}{r} + \frac{\beta}{p} = \frac{1}{r} + \frac{\beta}{p} = \frac{1}{r} + \left(1 - \frac{1}{r}\right) = 1.$$

También

$$\frac{1-\alpha}{r} = \frac{1}{r} + \frac{1}{p} - 1 = \frac{pq+p-1}{pq} + \frac{q}{pq} - \frac{pq}{pq} = \frac{p}{pq} = \frac{1}{q},$$

así elevar $(1)$ $q$- ésima potencia y la integración de da

$$\begin{align} \lVert u\rVert_q^q &\leqslant X_r^{q\alpha} \lVert v\rVert_p^{q\beta} \int \underbrace{\left(\int \lvert K(x,y)\rvert^r\,dx\right)}_{\leqslant Y_r^r} \lvert v(y)\rvert^p\,dy\\ &\leqslant X_r^{q\alpha} Y_r^r \lVert v\rVert_p^{q\beta+p}\\ &\leqslant A_r^{q\alpha+r}\lVert v\rVert_p^{q\beta+p}. \tag{2} \end{align}$$

Ahora

$$\begin{gather} q\alpha + r = qr\left(1-\frac{1}{p}\right)+r = r\left(q+1 - \frac{q}{p}\right) = \frac{pq}{pq+p-q}\frac{pq+p-q}{p} = q,\\ q\beta + p = qp\left(1-\frac{1}{r}\right) + p = pq + p - \frac{pq}{r} = pq+p - (pq+p-q) = q, \end{reunir}$$

así que tomando $q$-th raíces en $(2)$ rendimientos $(\ast)$.

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Así que, ¿dónde fue tu error? La división de el integrando en tres factores es el mismo, sus condiciones son

• $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 1$,
• $b\beta = p$
• $a\alpha = r$
• $(1-\alpha)c = r$
• $(1-\beta)c = p$
• $c = q$

y estos son exactamente correcto. Tu error está en

Observe también que $\dfrac{q}{a}=1$,

que no es en general el caso. Pero cuando es el caso, su

$$||u||_{L^{q}(\Omega)} \leq \underbrace{\left[\sup_{x}\int|K(x,y)|^{\frac{pq}{p+pq-q}}dy\right]^{1/q}}_{X_r^{r/q}}\underbrace{\left[\sup_{y}\int |K(x,y)|^{\frac{pq}{p+pq-q}}dx\right]^{1/q}}_{Y_r^{r/q}}||v||_{L^{p}}$$

sucede a darle lo que necesita, desde luego, $pq = p+q$ y por lo tanto

$$r = \frac{pq}{pq+p-q} = \frac{pq}{(p+q)+p-q} = \frac{pq}{2p} = \frac{q}{2},$$

así

$$X_r^{r/q} Y_r^{r/q} = X_r^{1/2}Y_r^{1/2} \leqslant A_r^{1/2}A_r^{1/2} = A_r.$$