Sumas de sumas de... de números

Question

Si introducimos la siguiente notación

$$S_r^q=\overbrace{\sum_{a_{r-1}=1}^q\sum_{a_{r-2}=1}^{a_{r-1}}\cdots\sum_{a_1=1}^{a_2}\sum^{a_1}}^{\mbox{a total of $ r $ sums}}1$$

por ejemplo, $S^q_1=q$ , $S^q_2=q(q+1)/2$ y así sucesivamente, entonces se puede demostrar que

$$S^p_{q-1}=S^q_{p-1},$$

donde $p$ y $q$ son enteros positivos. ¿Cuál es la prueba más sencilla de esto? Conozco una, pero sospecho que existen otras más sencillas. ¿Hay alguna generalización de esta afirmación? También puede alguien indicarme algunas referencias sobre material relacionado. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Utilizando la fórmula $$ \sum_{k=0}^n\binom{k}{j}=\binom{n+1}{j+1}\tag{1} $$ obtenemos inductivamente que $$ S_q^p=\binom{p+q-1}{q}\tag{2} $$ Así, tenemos $$ S_{q-1}^p=\binom{p+q-2}{q-1} $$ y $$ S_{p-1}^q=\binom{p+q-2}{p-1} $$ y su identidad es sólo la identidad de simetría común $\displaystyle\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ .

---

Razonamiento inductivo

1. $(2)$ se mantiene para $q=\color{#C00000}{1}$ porque $\displaystyle S_{\color{#C00000}{1}}^p=p=\binom{p+\color{#C00000}{1}-1}{\color{#C00000}{1}}$

2. Supongamos que $(2)$ se mantiene para algunos $q$ . Por definición, suposición y $(1)$ , $$ \begin{align} S_{q+1}^p &=\sum_{k=1}^pS_q^k\\ &=\sum_{k=1}^p\binom{k+q-1}{q}\\ &=\binom{p+q}{q+1}\\ &=\binom{p+(q+1)-1}{q+1} \end{align} $$ Por lo tanto, $(2)$ se mantiene para $q+1$ .