En Cartan y Eilenberg, Álgebra Homológica, el Ejercicio 10 de la página 123, la última declaración es el siguiente: si $A\to B$ es un anillo homomorphism tal que $B$ es proyectiva como un $A$-módulo, a continuación, para cualquier $A$-módulo de $M$ hemos $$ \text{inj.dim}_B(B\otimes_AM)\leq \text{inj.dim}_A(M). $$ Esto implica inmediatamente que si $B$ proyectiva como un $A$-módulo de e $M$ es un inyectiva $A$-módulo, a continuación, $B\otimes_AM$ es un inyectiva $B$-módulo.
Sin embargo, en este intercambio de la pila pregunta, @EricWofsey dio un contra-ejemplo: supongamos $A=k[x]$ el polinomio anillo sobre un campo de $k$ $B=l[x]$ donde $l/k$ es un no-algebraica de extensión de campo. Desde $A$ $B$ son PID, un módulo es inyectiva si y sólo si el módulo es divisible. Deje $M=k(x)$ $M$ es un inyectiva $A$-módulo. Pero $B\otimes_A M=l\otimes_k k(x)$ es el sub-anillo de $l(x)$ compuesto de funciones racionales que pueden ser escritos con un denominador en $k[x]$. En particular, si $t\in l$ no es algebraico sobre$k$, $\frac{1}{x-t}\notin l\otimes_k k(x)$ pero $x-t\in l\otimes_k k(x)$. Por lo tanto, $l\otimes_k k(x)$ no es divisible y por lo tanto no inyectiva como un $l[x]$-módulo.
Parece que esto le da un contra-ejemplo de Ejercicio 10. No estoy seguro de si el ejercicio está mal o lo he malinterpretado algo.
