Demostrando Trigonométricas Igualdad

Question

Tengo este trigonométricas igualdad de probar:

$$\frac{\cos x}{1-\tan x}-\frac{\sin x}{1+\tan x}=\frac{\cos x}{2\cos^2x-1}$$ Empecé con la mano izquierda, la reducción de las fracciones a común denominador y obtuve esto: $$\frac{\cos x+\cos x\tan x-\sin x+\sin x\tan x}{1-\tan^2x}\\=\frac{\cos x+\cos x(\frac{\sin x}{\cos x})-\sin x+\sin x(\frac{\sin x}{\cos x})}{1-\left(\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)}\\=\frac{\cos x+\left(\frac{\sin^2x}{\cos x}\right)}{1-\frac{\sin^2}{\cos^2x}}$$and by finding common denominator top and bottom and then multiplying the fractions i got: $$\frac{\cos^2x}{\cos^3x-\cos x\sin^2x}$$ que está lejos de ser la mano derecha y no sé qué estoy haciendo mal.
¿Cuál es la forma correcta de demostrar esta igualdad?

Answer 1

A partir de la última línea de su trabajo, y el uso de $\sin^2x+\cos^2x=1,$ $$\frac{\cos^2x}{\cos^3x-\cos x\sin^2x}=\frac{\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}=\frac{\cos x}{\cos^2x-(1-\cos^2x)}=\frac{\cos x}{2\cos^2x-1}$$

Answer 2

Multiplicando numerador/denominador por $\cos x$,

$$\frac{c}{1-t}-\frac{s}{1+t}=c\left(\frac c{c-s}-\frac s{c+s}\right)=c\frac{c^2+cs-cs+s^2}{c^2-s^2}=\frac c{2c^2-1}.$$

Answer 3

$$\frac { cosx }{ 1-tanx } -\frac { sinx }{ 1+tanx } =\frac { cosx }{ 2cos^{ 2 }x-1 } \\ \frac { \cos { x } \left( 1+tanx \right) }{ \left( 1-tanx \right) \left( 1+tanx \right) } -\frac { \sin { x } \left( 1-tanx \right) }{ \left( 1-tanx \right) \left( 1-tanx \right) } =\\ =\frac { \cos { x } +\sin { x } -\sin { x } +\frac { \sin ^{ 2 }{ x } }{ \cos { x } } }{ 1-\tan ^{ 2 }{ x } } =\frac { \frac { \cos ^{ 2 }{ x+\sin ^{ 2 }{ x } } }{ \cos { x } } }{ \frac { \cos ^{ 2 }{ x-\sin ^{ 2 }{ x } } }{ \cos ^{ 2 }{ x } } } =\\ =\frac { \cos { x } }{ \cos ^{ 2 }{ x-\sin ^{ 2 }{ x } } } =\frac { \cos { x } }{ 2\cos ^{ 2 }{ x-1 } } $$

Answer 4

Factorise cosx fuera de la línea inferior de la última ecuación, entonces usted tiene

$\cos \left( x \right)\left( 2\cos \left( x \right)^{2}-1 \right)$

como su línea de fondo. El resto está bien

Answer 5

He aquí una sugerencia: $$\frac{\cos x + \frac{\sin x}{\cos x}^2}{1 - \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2} = \frac{\frac{\sin x^2 + \cos x^2}{\cos x}}{\frac{\cos x^2 - \sin x^2}{\cos x^2}}.$$