De con álgebra por Gelfand, dice que "Cuando afirmamos que hemos resuelto la ecuación de $x^2-2=0$ y la respuesta es $x=\sqrt{2}$ o $x=-\sqrt{2}$, estamos de hecho trampa. A decir verdad, no hemos resuelto esta ecuación, pero confesó nuestra incapacidad para resolverlo; $\sqrt{2}$ no significa nada excepto "la solución positiva de la ecuación de $x^2-2=0$
Por favor alguien puede explicar lo que realmente significa? Qué significa cada número irracional es un absurdo? Gracias de antemano.
Respuestas
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Él está diciendo la siguiente.
- $\sqrt{2}$ se define como "el número tal que su cuadrado es de dos."
- La afirmación "la solución de $x$ $x^2-2 = 0$ $\sqrt{2}$" es, por tanto, diciendo que "la solución de $x$ $x^2-2=0$es el número tal que su cuadrado es de dos."
Como se puede ver, este es un lugar circular declaración. Esto no significa que los números irracionales son de sentido (de hecho, $\sqrt{2}$ no existe -- ver los comentarios y @EthanBolker la respuesta para más información sobre esto), pero en lugar de decir que este método de definición que nos limita a declaraciones como "el número tal que su cuadrado es de dos" o "la mitad del número tal que su cuadrado es de ocho."
CodeMonkey1313
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Para elaborar @fractal1729 's hermosa respuesta correcta:
Después de haber definido $\sqrt{2}$ "el número tal que el cuadrado es $2$" es razonable preguntar si es que existe tal número.
Los Griegos sabían que la respuesta es "no" " si "número" significa "número racional". Así que con el fin de reclamar la existencia de $\sqrt{2}$ debe ampliar el sistema de los números racionales. Los Griegos esencialmente esquivó la pregunta por el hacer de la geometría en lugar de la aritmética, de la utilización de puntos en una línea en lugar de números. Claramente hay un punto en el "número de línea" con la longitud correcta ya que se puede dibujar la diagonal de una unidad cuadrada.
En los siglos posteriores a los matemáticos encuentran más formal algebraica formas de ampliar el sistema de los números racionales para incluir lo que ahora llamamos a todos los "números reales". Los nuevos son los irrationals. Hay varias maneras de hacer esto. Uno de los más comunes es que precisa de la noción de un decimal infinita, junto con las reglas de la aritmética con ellos. Otros vienen con los nombres de "secuencias de Cauchy" o "Dedekind recortes".
goblin
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El uso definidos en el descriptor de la notación, podemos definir:
$$\sqrt{x} = (\iota y \in \mathbb{R})(y \geq 0 \wedge y^2=x)$$
En palabras: $\sqrt{x}$ es la única $y \geq 0$ tal que $y^2=x$.
A partir de esto, se puede demostrar que para todos los $y$ y todos los $x \geq 0$, tenemos: $$y^2 = x \iff y \in \pm\sqrt{x}.$$
Pero en cierto sentido, esto es puramente una construcción lógica, al menos en la medida en que no hemos explicado cómo aproximar $\sqrt{x}$ a de precisión arbitraria. Hay maneras de hacer esto, pero no nos hemos dado.
Hannebambel
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Yo creo que el autor es simplemente incorrecto. Hay otra forma más significativa de la definición de $\sqrt{2}$. Considere la siguiente secuencia: $$x_{n+1} := \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$$ with $x_0=1$.
A continuación,$\lim_{n\to\infty} x_n=\sqrt{2}$, incluso a pesar de todas las $x_n\in\mathbb{Q}$ arbitrarias $n\in\mathbb{N}$. Ahora, en lugar de la definición de $\sqrt{2}$ como la solución de $x^2-2=0$ podríamos tener también la define como el límite de $x_n$.
La prueba de la secuencia se puede encontrar aquí (en alemán).
Paramanand Singh
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Esta es una gran pregunta (+1) y, a juzgar por la cita, Gelfand debe ser un gran escritor, al menos para los libros de texto de álgebra (confieso que no he leído ninguno de sus libros y, por tanto, a juzgar sólo a partir de la cita en cuestión). De hecho, él ha arrinconado la esencia de la solución de ecuaciones polinómicas mediante el álgebra.
Si nos limitamos al álgebra, a continuación, la solución de ecuaciones polinómicas a través de los radicales es equivalente a la sustitución de una ecuación polinómica con un conjunto de binomio de ecuaciones de tipo $x^{n} - a=0$. Y para binomio de ecuaciones no hacemos nada, aparte de inventar símbolos como $a^{1/n}$.
Lo siguiente son algunas ecuaciones que no puede ser resuelto a través de los radicales. ¿Cómo se hace un algebrista lidiar con la situación ahora? Él inteligentemente maneja la situación con el uso de extensiones de campo y para cualquier polinomio $f(x) $ sobre un campo $F$ uno puede crear un campo de ampliación $E$ que contiene todas las raíces de $f(x) $. La técnica de construcción de este campo de la extensión es tan simple que uno se siente tentado a llamar a dicho mecanismo de solución de ecuaciones como "hacer trampa". Por lo tanto si $f$ es irreducible, entonces uno puede tener una raíz en el cociente $F[x] /(f(x)) $ y adivinar cuál es la raíz de $f(x) $ es el coset $x+(f(x)) $.
En efecto métodos algebraicos nunca trate de encontrar el valor de la raíz de una ecuación, sino que son más bien de que se trate con la estructura del campo de las extensiones que contiene las raíces. En algunos casos muy especiales, tales extensiones son radicales, y estos son el familiar, donde hacemos uso de la fórmula cuadrática, o la fórmula de Cardano (o más complicadas de tipo similar).
Ahora vamos a volver a la habitual escenario en el que las ecuaciones de coeficientes en campos específicos de las $\mathbb{R} $ $\mathbb{C} $ y permite primero manejar el caso cuando los coeficientes son reales. Los números reales son el producto de un no algebraicas proceso y su existencia es casi en pie de igualdad con los de los números racionales. Por lo tanto, se puede y se utilizan para medir la magnitud y se ha acordado por la convención que no son suficientes los números reales para ubicar a cada punto de una forma geométrica de la línea, de modo que todos los geométrica de medición es posible a través de los números reales.
Pero, a continuación, los números reales son un sistema muy potente y nos ofrecen la siguiente justificación para el símbolo $a^{1/n}$:
Teorema 1: Si $a$ es un número real positivo y $n$ es un entero positivo, entonces existe un único número real positivo $b$ tal que $b^{n} =a$ y se denota por el símbolo $a^{1/n}$.
Así por lo menos algunos binomio ecuaciones de tipo $x^{n} - a=0$ tienen una raíz que tiene existencia en el sistema numérico real. Por la existencia, nos referimos a que es posible dar alguna idea concreta acerca de esta raíz en comparación a los enteros y racionales. En otras palabras, podemos proporcionar una aproximación al valor de la raíz con los números racionales. Y, además, la aproximación puede ser tan precisa como queremos. Es en este sentido de aproximación a través de racionales que cada número real existe. Y se aplica a todo tipo de números irracionales, incluyendo los famosos $e, \pi, \sqrt{2}$. Por lo tanto los números irracionales no son sin sentido, ellos son tan significativas como las racionales y tal vez matemáticamente más importante, pero por desgracia técnicas algebraicas no puede ayudar en el descubrimiento de su verdadera naturaleza.
Vamos también tenga en cuenta que hay algunos números reales que son las raíces de ciertas ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales y los llamamos algebraicas de los números reales. La razón de la ampliación de nuestro sistema de número de $\mathbb{Q} $ $\mathbb{R} $no es dar algún tipo de existencia a estos números algebraicos (como $\sqrt{2}$). La medida de las raíces de los polinomios, las algebraicas mecanismo de extensiones de campo es suficiente y bonito. Incluso si tratamos de añadir números a $\mathbb{Q} $ no nos da $\mathbb{R} $, sino que más bien da $\overline{\mathbb{Q}} $, lo que llamamos la clausura algebraica de $\mathbb{Q} $. Incluye todos los algebraicas de los números reales y complejos, pero no captura todos los números reales o todos los números complejos. De hecho, se puede demostrar que como $\mathbb{Q} $, la $\overline{\mathbb{Q}} $ también es contable, mientras que tanto el $\mathbb{R}, \mathbb{C} $ son innumerables.
Los números reales se inventaron para lidiar con los esenciales/necesidad apremiante de arithmetize geometría. La idea era desarrollar un sistema de números que podrían corresponder a los puntos en una línea y que era conocido desde la época de Pitágoras (o tal vez incluso antes) de que hay algunos puntos en la línea de que no corresponde a un número racional. Otra necesidad de los números reales provenientes de las muy poderosas técnicas de cálculo que se basa en la intuición geométrica, pero no era rigurosa justificación de estos métodos utilizando aritmética de los medios.
Para responder a su pregunta, tenemos dos formas de mirar el símbolo $\sqrt{2}$. Uno es a través de álgebra, que dice que es una solución a la ecuación de $x^{2}-2=0$ y en este enfoque, no podemos distinguir entre el$\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$. Otra forma es pensar en él como un número real representada por sus aproximaciones racionales. Por lo tanto podemos decir que el $\sqrt{2}$ es un número real positivo, que es mayor que todos los positivos racionales cuyo cuadrado es menor que $2$ y es menor que el de todos los racionales positivos cuyo cuadrado es mayor que $2$. Más en este caso en particular tenemos la suerte de disponer de un mecanismo de localización de un punto en la recta numérica correspondiente a través de construcciones geométricas con regla y compás.
También vamos a discutir un poco sobre el complejo sistema de número. Pero antes de hacerlo debemos tener en cuenta que hay otro conjunto de ecuaciones que el número real del sistema puede manejar muy bien:
Teorema 2: Si $f(x) $ es el polinomio de grado impar con coeficientes reales, entonces existe al menos un número real $c$ tal que $f(c) =0$.
Pero hay muchas ecuaciones con coeficientes reales para los cuales no hay ninguna raíz en el sistema numérico real. La más simple y la más famosa ecuación es $x^{2}+1=0$. Una vez más, un algebrista viene al rescate y crea un campo de extensión de la $\mathbb{C} $ como el cociente $\mathbb{R} [x] /(x^{2}+1)$ y, sorprendentemente, en una sola toma el algebrista logra resolver todas las ecuaciones polinómicas de ningún tipo :
Teorema Fundamental del Álgebra: Si $f(x) $ es un polinomio de grado positivo con coeficientes complejos, a continuación, hay un complejo número de $c$ tal que $f(c) =0$.
Pero todo esto es hacer trampa. El poder del teorema anterior no es debido a la técnica algebraica de la creación de extensiones de campo a través de cocientes, sino más bien debido a las propiedades de los números reales mencionadas en el teorema 1 y 2 anteriores.
