$\def\sign{\mathop{\rm sign}}$Primero de todo, es suficiente para demostrar la declaración de al $p=u/v$ es racional, $u$ es incluso y $v$ es impar (los números son densos en la recta real). Necesitamos esto para simplificar el último argumento.
Deje que la ecuación de la elipse ser $f(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2=1$; uno puede asumir que $b\neq 0$ (ya sea por una pequeña variación de argumento, o por considerar que es directamente --- este caso es fácil). Deje que nosotros unidos el número de extremos locales de $f(x,y)$$|x|^p+|y|^p=1$; si hay un máximo de 8 de ellos, entonces tenemos: entre cada dos, hay un punto de intersección. Desde $b\neq 0$, los puntos donde una de las coordenadas se desvanecen no extremal (la elipse que pasa a través de dicho punto tiene una tangente, no paralelos a los ejes de coordenadas).
El extremal puntos de satisfacer el sistema de ecuaciones de Lagrange
$$
2(ax+by)=p\lambda|x|^{p-1}\signo x, \quad
2(bx+cy)=p\lambda|y|^{p-1}\signo y;
$$
obviamente, $\lambda\neq 0$, por lo que este sistema de rendimientos
$$
\frac{a+b}{bt+c}=|t|^{p-1}\signo t,
$$
donde $t=x/y$. Así, no es suficiente para mostrar que existen en la mayoría de los cuatro valores de $t$ (cada uno corresponde a dos simétrica extremal puntos). Observe que $|t|^{p-1}\sign t=t^{(u-v)/v}$ por nuestros supuestos sobre los $u$$v$. Ahora, sustituyendo $t=s^v$ obtenemos
$$
como^v+b=bs^u+cs^{u, v}.
$$
La última ecuación polinómica tiene más de cuatro raíces por una aplicación fácil de Descartes' regla de los signos.
ADENDA. Por el camino, que usted ha mencionado en MathSE que en su caso el eje menor está en el cuadrante positivo, y que estaban interesados en los puntos de intersección de mentira en este cuadrante así. En este caso podemos suponer que la $a,b,c>0$, y estamos interesados en los valores positivos de $t$. La regla de los signos muestra que hay un $t$ siempre $u-v>v$, que es - - - - - si $p>2$. De lo contrario, se afirma que hay un $t$ en el adyacentes cuadrante.
ADDENDUM2. Aquí está la explicación sobre el caso limitante. Suponga que tiene más de 8 común pointsof una elipse y un $\ell_p$-círculo. Soplando hacia arriba o lejos de su elipse un poco, puede llegar a la situación cuando hay más de 8 puntos de intersección transversal. A continuación, se marca un punto en la elipse entre cada uno de esos vecinos puntos (o, simplemente, marcos 10 de ellos); estos puntos marcados son alternativamente dentro y fuera de la $\ell_p$-círculo. Por último, si usted cambia de $p$ un poco, todos estos 10 puntos todavía será alterna, garantizando 10 puntos de intersección.
El mismo método funciona para $b=0$.
Finalmente, si es más fácil para usted, usted puede pasar a rational $p$ de una forma deseada DESPUÉS de escribir el (casi) polinomio en $t$ --- en este caso, la declaración es más visible...
Y, aún más, por último, que sólo puede repetir la prueba de los Descartes' regla `casi polinomio' --- todo lo que (tal vez), es necesario que todos los poderes se diferencian por al menos uno, que puede ser alcanzado por una sustitución adecuada.
ADDENDUM3. Sólo para mencionar. El mismo método permite demostrar que los afín imágenes de $\ell_p$ - $\ell_q$- círculos también tienen un máximo de 8 puntos en común, si tienen el mismo centro.
